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cours:college:sixieme:mathematiques:les_triangles_rectangles

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cours:college:sixieme:mathematiques:les_triangles_rectangles [2025/06/08 00:43] – créée - modification externe 127.0.0.1cours:college:sixieme:mathematiques:les_triangles_rectangles [2025/06/18 14:50] (Version actuelle) – [Les triangles rectangles : Bilan de Sixième] wikiprof
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-# Les triangles rectangles+====== Les triangles rectangles======
  
-## Prérequis+===== Prérequis =====
  
-Avant d'aborder le tracé des triangles rectangles, il est essentiel de maîtriser les notions suivantes acquises en primaire :+Ce cours fait le bilan sur les triangles rectangles. Il est donc indispensable d'avoir compris les notions de base sur les triangles (types de triangles, angles, côtés) vues en classe de cinquième. Ce chapitre s'inscrit en fin d'année, après l'étude des angles et des figures géométriques.
  
-* La reconnaissance des figures géométriques de base : **triangle**, **carré**, **rectangle**, **cercle**. +===== Chapitre 1 : Définition et propriétés du triangle rectangle =====
-* La compréhension de la notion d'**angle** et la capacité à identifier un **angle droit**. +
-* L'utilisation d'une **règle graduée** pour mesurer des longueurs et tracer des segments. +
-* L'utilisation d'une **équerre** pour vérifier si un angle est droit. +
-* Vocabulaire : point, droite, segment, milieu.+
  
-Dans la progression de l'année de sixième, ce cours intervient après l'introduction aux figures géométriques et aux instruments de géométrie (règle, équerre, compas). Il précède généralement l'étude des triangles particuliers (isocèle, équilatéral) et des quadrilatères.+==== 1.1 Définition du triangle rectangle ====
  
-## Comment tracer un triangle rectangle+Un **triangle rectangle** est un triangle qui possède un **angle droit**, c'est-à-dire un angle de 90°. Cet angle est souvent représenté par un petit carré dans le dessin.
  
-### Qu'est-ce qu'un triangle rectangle ?+***Exemple :*** Imaginez un rectangle. Tracez une diagonale. Vous venez de créer deux triangles rectangles.
  
-Un **triangle rectangle** est un triangle qui a un **angle droit**. Un **angle droit** est un angle qui mesure 90 degrés. On le représente souvent par un petit carré à l'intérieur de l'angle. Le côté opposé à l'angle droit est appelé **hypoténuse**. C'est le plus grand côté du triangle rectangle.+==== 1.2 Éléments du triangle rectangle ====
  
-### Les instruments nécessaires+  * **Hypoténuse:** C'est le côté opposé à l'angle droit. Il est toujours le plus long côté du triangle rectangle. 
 +  * **Côté adjacent:** C'est un des deux côtés qui forment l'angle droit. Le choix du côté adjacent dépend de l'angle aigu considéré. 
 +  * **Côté opposé:** C'est le côté opposé à l'angle aigu considéré. Le côté opposé dépend également de l'angle aigu considéré.
  
-Pour tracer un triangle rectangle, tu auras besoin de :+***Exemple :*** Dans un triangle rectangle ABC, si l'angle droit est en B, alors [AC] est l'hypoténuse. Si on considère l'angle aigu Â, [BC] est le côté opposé à Â et [AB] est le côté adjacent à Â.
  
-* Une **règle graduée** : pour mesurer et tracer des segments de droite. +===== Chapitre 2 : Le théorème de Pythagore =====
-* Une **équerre** : pour tracer des angles droits. +
-* Un **crayon bien taillé** : pour une plus grande précision. +
-* Une **gomme** : pour effacer les erreurs.+
  
-### Méthode 1 : Tracer un triangle rectangle connaissant la longueur de deux côtés adjacents à l'angle droit+==== 2.1 Enoncé du théorème de Pythagore ====
  
-1. **Trace un premier segment** à l'aide de la règle. Par exemple, trace un segment $AB$ de 5 cm. +Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (appelés cathètes).
-2. **Utilise l'équerre pour tracer un angle droit** au point $A$. Place un côté de l'équerre le long du segment $AB$ et trace une demi-droite perpendiculaire à $AB$ qui part de $A$. +
-3. **Mesure la longueur du deuxième segment** le long de la demi-droite perpendiculaire. Par exemple, mesure 3 cm à partir de $A$ et marque le point $C$. On a donc $AC = 3 \text{ cm}$. +
-4. **Relie les points $B$ et $C$** avec la règle. Tu obtiens le triangle rectangle $ABC$, rectangle en $A$. Le côté $BC$ est l'hypoténuse.+
  
-### Méthode 2 : Tracer un triangle rectangle connaissant la longueur de l'hypoténuse et d'un côté adjacent à l'angle droit+ Formellement : Si ABC est un triangle rectangle en B, alors <m>AC^2 = AB^2 + BC^2</m>.
  
-1. **Trace le côté adjacent à l'angle droit** : trace un segment $AB$ de la longueur donnée. +==== 2.2 Application du théorème de Pythagore ====
-2. **Construis la perpendiculaire** : place l'équerre en $A$ et trace une demi-droite perpendiculaire à $AB$. +
-3. **Utilise le compas pour reporter la longueur de l'hypoténuse** : prends une ouverture de compas égale à la longueur de l'hypoténuse et pique le compas en $B$. Trace un arc de cercle qui coupe la demi-droite perpendiculaire. Le point d'intersection est le point $C$. +
-4. **Relie les points** : relie les points $B$ et $C$. Tu obtiens le triangle rectangle $ABC$, rectangle en $A$, avec $BC$ étant l'hypoténuse.+
  
-### Conseils pour un tracé précis+Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle si on connaît les longueurs des deux autres côtés.
  
-* Assure-toi que ton crayon est bien taillé. +***Exemple :*** Dans un triangle rectangle ABC rectangle en B, si AB = 3 cm et BC = 4 cm, alors <m>AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25</m>, donc AC = <m>sqrt{25} = 5</m> cm.
-* Tiens fermement la règle et l'équerre pour éviter qu'elles ne bougent pendant le tracé. +
-* Vérifie que l'angle droit est bien formé à l'aide de l'équerre. +
-* Efface les traits de construction inutiles. +
-* Nomme les sommets du triangle (par exemple, $A$, $B$, $C$). +
-* Indique l'angle droit avec le symbole adéquat (un petit carré).+
  
-## Résumé+**Exercice 1:** Un triangle rectangle a pour hypoténuse 10 cm et un côté de 6 cm. Calculer la longueur du troisième côté.
  
-* Un **triangle rectangle** est un triangle ayant un **angle droit**. +**Corrigé guidé Exercice 1:**
-* L'**hypoténuse** est le côté opposé à l'angle droit. C'est le côté le plus long. +
-* Pour tracer un triangle rectangle, on utilise une **règle** et une **équerre**. +
-* **Méthode 1** : on trace deux côtés adjacents à l'angle droit. +
-* **Méthode 2** : on trace un côté adjacent à l'angle droit et l'hypoténuse à l'aide d'un compas.+
  
-## Évaluation QCM+  - Identifier l'hypoténuse (10cm) et le côté connu (6cm). 
 +  - Appliquer le théorème de Pythagore : <m>10^2 = 6^2 + x^2</m> où x est la longueur du côté inconnu. 
 +  - Résoudre l'équation : <m>100 = 36 + x^2</m>, donc <m>x^2 = 64</m>. 
 +  - La longueur du troisième côté est <m>x = sqrt{64} = 8</m> cm.
  
-``` +===== Chapitre 3 : Reconnaître un triangle rectangle =====
-[Q] Parmi les figures suivantes, laquelle est un triangle rectangle ? +
-[R_C] Un triangle avec un angle droit. +
-[R] Un triangle avec tous les côtés égaux. +
-[R] Un triangle avec un angle obtus. +
-[EXP] Un triangle rectangle est défini par la présence d'un angle droit. +
-```+
  
-``` +==== 3.1 Réciproque du théorème de Pythagore ====
-[Q] Comment appelle-t-on le côté le plus long d'un triangle rectangle ? +
-[R_C] L'hypoténuse +
-[R] La base +
-[R] La hauteur +
-[EXP] L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit et c'est le côté le plus long du triangle rectangle. +
-```+
  
-``` +Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
-[Q] Quel instrument utilise-t-on pour tracer un angle droit ? +
-[R_C] L'équerre +
-[R] Le compas +
-[R] Le rapporteur +
-[EXP] L'équerre permet de tracer des angles droits précis. +
-```+
  
-``` +==== 3.2 Applications de la réciproque ====
-[Q] Dans un triangle ABC rectangle en A, quel côté est l'hypoténuse ? +
-[R_C] BC +
-[R] AB +
-[R] AC +
-[EXP] L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, donc ici BC. +
-```+
  
-``` +La réciproque du théorème de Pythagore permet de vérifier si un triangle est rectangle en connaissant les longueurs de ses trois côtés.
-[Q] Vrai ou Faux : Tous les triangles rectangles sont isocèles. +
-[R] Vrai +
-[R_C] Faux +
-[EXP] Un triangle rectangle n'est pas forcément isocèle. Un triangle rectangle isocèle a deux côtés égaux et un angle droit. +
-```+
  
-``` +**Exercice 2:** Un triangle a pour côtés 5 cm, 12 cm et 13 cm. Est-ce un triangle rectangle ?
-[Q] On trace un segment AB de 4 cm. On veut tracer un triangle rectangle ABC rectangle en A. Quelle information supplémentaire est nécessaire ? +
-[R_C] La longueur du segment AC. +
-[R_C] La longueur du segment BC. +
-[R] L'angle en B. +
-[EXP] Connaître la longueur de AC permet d'utiliser l'équerre. Connaître la longueur de BC permet d'utiliser le compas. +
-```+
  
-``` +**Corrigé guidé Exercice 2:**
-[Q] Si un triangle a des côtés de longueurs 3 cm, 4 cm et 5 cm, est-ce un triangle rectangle ? +
-[R] On ne peut pas savoir. +
-[R_C] Oui +
-[R] Non +
-[EXP] Oui, il s'agit d'un triangle rectangle (vérifiable avec le théorème de Pythagore, bien que non explicitement nécessaire en 6ème, la relation 3-4-5 est un exemple courant). +
-```+
  
-``` +  - Identifier le plus grand côté (13 cm). 
-[Q] Que symbolise le petit carré dans un coin d'un triangle ? +  - Vérifier si <m>13^2 = 5^2 + 12^2</m>. 
-[R_C] Un angle droit +  - <m>169 = 25 + 144 = 169</m>. L'égalité est vérifiée. 
-[R] Un angle aigu +  - Conclusion : Le triangle est rectangle.
-[R] Un angle obtus +
-[EXP] Le petit carré est la représentation conventionnelle d'un angle droit. +
-```+
  
-``` +===== Chapitre 4 : Triangles rectangles particuliers =====
-[Q] Lequel de ces triplets de longueurs de côtés NE PEUT PAS correspondre à un triangle rectangle ? +
-[R] 3 cm, 4 cm, 5 cm +
-[R] 6 cm, 8 cm, 10 cm +
-[R_C] 1 cm, 2 cm, 3 cm +
-[EXP] 1 cm, 2 cm, 3 cm ne respecte pas l'inégalité triangulaire, donc on ne peut même pas former un triangle. +
-```+
  
-``` +==== 4.1 Triangle rectangle isocèle ==== 
-[Q] Pour construire un triangle rectangle, quelle est la première étape essentielle ? + 
-[R] Mesurer les angles. +Un **triangle rectangle isocèle** est un triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit ont la même longueur. Ses angles aigus mesurent 45°. 
-[R_C] Tracer un angle droit. + 
-[R] Mesurer les côtés. +==== 4.2 Triangle demi-équilatéral ==== 
-[EXP] La présence d'un angle droit est la caractéristique déterminante d'un triangle rectangle. + 
-```+Un **triangle demi-équilatéral** est un triangle rectangle formé en coupant un triangle équilatéral en deux par sa hauteur. Il possède des angles de 30°, 60° et 90°. 
 + 
 +===== Résumé ===== 
 + 
 +  * Un **triangle rectangle** possède un angle droit (90°). 
 +  * L'**hypoténuse** est le côté opposé à l'angle droit. 
 +  * **Théorème de Pythagore:** Dans un triangle rectangle, <m>hypoténuse^2 = côté_1^2 + côté_2^2</m>. 
 +  * **Réciproque du théorème de Pythagore:** Si <m>a^2 + b^2 = c^2</m> (avec c le plus grand côté), alors le triangle est rectangle. 
 +  * Un **triangle rectangle isocèle** a deux côtés égaux et deux angles de 45°. 
 +  * Un **triangle demi-équilatéral** possède des angles de 30°, 60° et 90°.
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