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--- cours:lycee:generale:seconde_generale_et_technologique:mathematiques:applications_sur_les_vecteurs [2025/06/17 00:13] – Cours généré par l'IA: Applications sur les vecteurs (lycee, seconde_generale_et_technologique, mathematiques) wikiprof
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-===== Applications sur les vecteurs =====
+===== Applications des vecteurs en sciences physiques =====
 ==== Prérequis ====
-Ce cours suppose que vous maîtrisez les notions de base sur les vecteurs : définition, représentation graphique, opérations (addition, soustraction, multiplication par un scalaire), coordonnées d'un vecteur dans un repère. Ce chapitre s'inscrit dans la continuité de l'introduction aux vecteurs et précède l'étude des produits scalaires et vectoriels. Il est conseillé d'avoir une bonne maîtrise des équations et inéquations du premier degré.
+Ce cours nécessite une bonne compréhension des notions de vecteurs (somme, différence, produit scalaire) et des bases de la cinématique (vitesse, accélération). Il s'inscrit dans la continuité des chapitres sur les vecteurs et fait le lien direct avec les applications en physique, préparant ainsi aux cours de physique de seconde.
-==== Chapitre 1 : Vecteurs et Géométrie ====
+==== Chapitre 1 : Vecteurs et déplacement ====
-=== 1.1 Coordonnées et Vecteurs ===
+=== 1.1 Le vecteur déplacement ===
-On considère un repère orthonormé <m>(O; vec{i}, vec{j})</m>. Un vecteur <m>vec{u}</m> est défini par ses coordonnées <m>(x, y)</m> dans ce repère. On note <m>vec{u} (x, y)</m>. On peut exprimer <m>vec{u}</m> en fonction des vecteurs de base : <m>vec{u} = xvec{i} + yvec{j}</m>.
+Le **vecteur déplacement** <m>vec{d}</m> relie un point de départ A à un point d'arrivée B. Il est caractérisé par :
-**Définition :** Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.
+  * Sa **direction** : la droite (AB).
+  * Son **sens** : de A vers B.
+  * Sa **norme** : la distance AB, notée <m>||vec{d}||</m> ou d.
-***Exemple :*** Si <m>vec{u} = (2, 3)</m> et <m>vec{v} = (2, 3)</m>, alors <m>vec{u} = vec{v}</m>.
+***Exemple :*** Un objet se déplace de 3 mètres vers l'est. Le vecteur déplacement a une norme de 3 mètres, une direction horizontale et un sens vers l'est.
-**Remarque :** Le vecteur nul est noté <m>vec{0}</m> et a pour coordonnées <m>(0, 0)</m>.
+=== 1.2 Composition des déplacements ===
-=== 1.2 Milieu d'un Segment ===
+Plusieurs déplacements successifs peuvent être représentés par une somme vectorielle. Le **déplacement résultant** est la somme vectorielle des déplacements individuels. On peut utiliser la méthode du parallélogramme ou la méthode de la relation de Chasles pour les calculer.
-Soient <m>A(x_A, y_A)</m> et <m>B(x_B, y_B)</m> deux points. Le milieu <m>M</m> du segment <m>[AB]</m> a pour coordonnées :
+***Exemple :*** Un marcheur se déplace de 5 mètres vers le nord puis de 12 mètres vers l'est. Son déplacement résultant est donné par <m>vec{d_{résultant}} = vec{d_1} + vec{d_2}</m>, avec <m>||vec{d_1}|| = 5 m</m> et <m>||vec{d_2}|| = 12 m</m>. La norme du déplacement résultant se calcule avec le théorème de Pythagore : <m>||vec{d_{résultant}}|| = sqrt{5^2 + 12^2} = 13 m</m>.
-<m>Mleft((x_A + x_B) / (2), (y_A + y_B) / (2)right)</m>
+==== Chapitre 2 : Vecteurs et forces ====
-***Exemple :*** Si <m>A(1, 2)</m> et <m>B(5, 6)</m>, alors le milieu <m>M</m> de <m>[AB]</m> a pour coordonnées <m>Mleft((1+5) / (2), (2+6) / (2)right) = M(3, 4)</m>.
+=== 2.1 Représentation vectorielle d'une force ===
-=== 1.3 Colinéarité de deux Vecteurs ===
+Une **force** est une grandeur vectorielle caractérisée par :
-**Définition :** Deux vecteurs <m>vec{u}(x_u, y_u)</m> et <m>vec{v}(x_v, y_v)</m> sont colinéaires si et seulement si il existe un réel <m>k</m> tel que <m>vec{u} = kvec{v}</m>. Cela se traduit par : <m>x_u = kx_v</m> et <m>y_u = ky_v</m>. Si <m>vec{v} \neq vec{0}</m>, cela équivaut à <m>(x_u) / (x_v) = (y_u) / (y_v)</m>.
+  * Son **point d'application** : le point où la force agit.
+  * Sa **direction** : la droite d'action de la force.
+  * Son **sens** : le sens de l'action de la force.
+  * Son **intensité** : la norme du vecteur force, mesurée en Newtons (N).
-***Exemple :*** Les vecteurs <m>vec{u}(2, 4)</m> et <m>vec{v}(1, 2)</m> sont colinéaires car <m>(2) / (1) = (4) / (2) = 2</m>. On a <m>vec{u} = 2vec{v}</m>.
+***Exemple :*** Une force de 10 N tire un objet vers le haut. Le vecteur force a une norme de 10 N, une direction verticale et un sens vers le haut.
-==== Chapitre 2 : Applications aux problèmes géométriques ====
+=== 2.2 Composition des forces ===
-=== 2.1 Déterminer les coordonnées d'un point ===
+La **force résultante** est la somme vectorielle de toutes les forces agissant sur un objet. Si la force résultante est nulle, l'objet est en équilibre. La méthode du parallélogramme ou de la relation de Chasles s’applique ici aussi.
-**Exercice 1 :** Soient A(1, 3) et B(4, 1). Déterminer les coordonnées du point C tel que <m>vec{AC} = 2vec{AB}</m>.
+***Exemple :*** Deux forces de 5 N et 8 N s'appliquent sur un objet avec un angle de 90° entre elles. La norme de la force résultante est <m>sqrt{5^2 + 8^2} = 9.43 N</m>.
-**Corrigé guidé Exercice 1:**
+==== Chapitre 3 : Vecteurs et vitesse ====
-  - Calculer les coordonnées du vecteur <m>vec{AB}</m>: <m>vec{AB} (4 - 1, 1 - 3) = vec{AB}(3, -2)</m>
+=== 3.1 Vecteur vitesse ===
-  - Calculer les coordonnées du vecteur <m>vec{AC}</m>: <m>vec{AC} = 2vec{AB} = 2(3, -2) = (6, -4)</m>
-  - On a <m>vec{AC}(x_C - x_A, y_C - y_A) = (6, -4)</m>. Donc <m>x_C - 1 = 6</m> et <m>y_C - 3 = -4</m>.
-  - On en déduit <m>x_C = 7</m> et <m>y_C = -1</m>.
-  - Les coordonnées de C sont (7, -1)
-=== 2.2 Démontrer l'alignement de points ===
+La **vitesse** est un vecteur qui caractérise la variation de la position d'un objet au cours du temps. Sa direction est tangente à la trajectoire, son sens est celui du mouvement et sa norme est la vitesse scalaire, exprimée en mètres par seconde (m/s).
-**Exercice 2 :** Soient A(1,2), B(4,5) et C(7,8). Démontrer que les points A, B et C sont alignés.
+***Exemple :*** Une voiture roule à 20 m/s vers le nord. Le vecteur vitesse a une norme de 20 m/s, une direction horizontale et un sens vers le nord.
-**Corrigé guidé Exercice 2:**
+=== 3.2 Vecteur accélération ===
-  - Calculer les coordonnées de <m>vec{AB}</m> et <m>vec{AC}</m>: <m>vec{AB} = (4-1, 5-2) = (3.3)</m> et <m>vec{AC} = (7-1, 8-2) = (6.6)</m>
+L'**accélération** est la variation du vecteur vitesse dans le temps. C'est un vecteur qui peut avoir différentes causes : variation de vitesse, variation de direction ou les deux simultanément. Elle est exprimée en mètres par seconde carrée (m/s²).
-  - Observer que <m>vec{AC} = 2vec{AB}</m>.
-  - Puisque <m>vec{AC}</m> est un multiple de <m>vec{AB}</m>, les vecteurs <m>vec{AB}</m> et <m>vec{AC}</m> sont colinéaires.
-  - Donc, les points A, B, et C sont alignés.
-==== Chapitre 3 : Problèmes de type "barycentre" ====
+***Exemple :*** Une voiture accélère de 2 m/s² vers l'avant. Le vecteur accélération a une norme de 2 m/s², une direction horizontale et un sens vers l'avant.
-Le barycentre de deux points pondérés est un point qui est un intermédiaire entre deux points. Nous n'aborderons pas les propriétés de la fonction vectorielle "barycentre" dans ce chapitre.
+==== Chapitre 4 : Applications et Exercices ====
+Ce chapitre traite d'exemples concrets et d'exercices résolus.
+**Exercice 1:** Une balle est lancée avec une vitesse initiale de 10 m/s à 45° par rapport à l'horizontale. Décomposer ce vecteur vitesse en ses composantes horizontale et verticale.
+**Corrigé guidé:** Il faut utiliser la trigonométrie. La composante horizontale est <m>v_x = 10 cos(45^circ) approx 7.07 m.s^-1</m> et la composante verticale est <m>v_y = 10 sin(45^circ) approx 7.07 m.s^-1</m>.
+**Exercice 2:** Deux forces, <m>vec{F_1}</m> de 5 N vers l'est et <m>vec{F_2}</m> de 10 N vers le nord, agissent sur un objet. Déterminer la force résultante.
+**Corrigé guidé:** On utilise le théorème de Pythagore. La norme de la force résultante est <m>sqrt{5^2 + 10^2} = sqrt{125} approx 11.18 N</m>. Sa direction et son sens se déduisent à l'aide de la trigonométrie (arctan(5/10) = environ 26,6 degrés par rapport à la verticale vers l'Est).
 ==== Résumé ====
-  * **Définition:** Deux vecteurs sont égaux ssi ils ont les mêmes coordonnées.
+  * **Vecteur déplacement:** Relie un point de départ à un point d'arrivée, caractérisé par sa direction, son sens et sa norme (distance).
-  * **Coordonnées du milieu M d'un segment [AB]:** <m>Mleft((x_A + x_B) / (2), (y_A + y_B) / (2)right)</m>
+  * **Déplacement résultant:** Somme vectorielle des déplacements individuels.
-  * **Colinéarité:** Deux vecteurs <m>vec{u}(x_u, y_u)</m> et <m>vec{v}(x_v, y_v)</m> sont colinéaires si et seulement si il existe un réel <m>k</m> tel que <m>vec{u} = kvec{v}</m>. Cela équivaut à <m>(x_u) / (x_v) = (y_u) / (y_v)</m> (si <m>x_v \neq 0</m> et <m>y_v \neq 0</m>).
+  * **Force:** Grandeur vectorielle caractérisée par son point d'application, sa direction, son sens et son intensité (mesurée en Newtons).
-  * **Chapitre 1:** Introduction des coordonnées de vecteurs, définition de l'égalité vectorielle, calcul du milieu d'un segment et condition de colinéarité de deux vecteurs.
+  * **Force résultante:** Somme vectorielle des forces agissant sur un objet.
-  * **Chapitre 2:** Applications des propriétés vectorielles à la résolution de problèmes géométriques, notamment la détermination des coordonnées d'un point et la démonstration de l'alignement de points.
+  * **Vitesse:** Vecteur caractérisant la variation de position dans le temps (norme en m/s).
-  * **Chapitre 3:** Introduction du concept de barycentre, sans approfondissement des propriétés de la fonction vectorielle "barycentre".
+  * **Accélération:** Vecteur caractérisant la variation de vitesse dans le temps (norme en m/s²).