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--- cours:lycee:generale:seconde_generale_et_technologique:mathematiques:applications_sur_les_vecteurs [2025/06/17 11:40] – Cours généré par l'IA: Applications sur les vecteurs (lycee, seconde_generale_et_technologique, mathematiques) wikiprof
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 ==== Prérequis ====
-Ce cours nécessite la maîtrise des notions de base sur les vecteurs étudiées en classe de seconde : définition d'un vecteur, égalité de deux vecteurs, addition et soustraction de vecteurs, multiplication d'un vecteur par un scalaire, représentation graphique des vecteurs, projection d'un vecteur sur un axe. Ce chapitre s'inscrit dans la partie du programme de mathématiques de seconde consacrée à la géométrie vectorielle et à ses applications. Il est essentiel pour la compréhension des chapitres suivants de physique.
+Ce cours nécessite une bonne compréhension des notions de vecteurs (somme, différence, produit scalaire) et des bases de la cinématique (vitesse, accélération). Il s'inscrit dans la continuité des chapitres sur les vecteurs et fait le lien direct avec les applications en physique, préparant ainsi aux cours de physique de seconde.
-==== Chapitre 1 : Vecteurs et forces en mécanique ====
+==== Chapitre 1 : Vecteurs et déplacement ====
-=== 1.1 Représentation vectorielle des forces ===
+=== 1.1 Le vecteur déplacement ===
-Une **force** est une grandeur physique vectorielle caractérisée par :
+Le **vecteur déplacement** <m>vec{d}</m> relie un point de départ A à un point d'arrivée B. Il est caractérisé par :
-  * son **point d'application** : le point où la force agit
+  * Sa **direction** : la droite (AB).
-  * sa **direction** : la droite le long de laquelle la force agit
+  * Son **sens** : de A vers B.
-  * son **sens** : le sens de l'action de la force le long de sa direction
+  * Sa **norme** : la distance AB, notée <m>||vec{d}||</m> ou d.
-  * son **intensité** (ou norme) : mesurée en **Newtons (N)**.
-On représente une force par un vecteur <m>vec{F}</m>, dont la longueur est proportionnelle à l'intensité de la force et dont la direction et le sens correspondent à ceux de la force. Par exemple, une force de 10 N appliquée horizontalement vers la droite peut être représentée par un vecteur <m>vec{F}</m> de longueur 10 cm (si l'on choisit une échelle de 1 cm pour 1 N) orienté horizontalement vers la droite.
+***Exemple :*** Un objet se déplace de 3 mètres vers l'est. Le vecteur déplacement a une norme de 3 mètres, une direction horizontale et un sens vers l'est.
-=== 1.2 Composition de forces concourantes ===
+=== 1.2 Composition des déplacements ===
-Lorsque plusieurs forces agissent sur un même point (**forces concourantes**), leur action peut être remplacée par une seule force appelée **force résultante**. Pour trouver la force résultante, on utilise la méthode de la somme vectorielle.
+Plusieurs déplacements successifs peuvent être représentés par une somme vectorielle. Le **déplacement résultant** est la somme vectorielle des déplacements individuels. On peut utiliser la méthode du parallélogramme ou la méthode de la relation de Chasles pour les calculer.
-**Méthode graphique :** On représente les vecteurs forces bout à bout, et le vecteur résultant est le vecteur reliant le point de départ du premier vecteur au point d'arrivée du dernier vecteur.
+***Exemple :*** Un marcheur se déplace de 5 mètres vers le nord puis de 12 mètres vers l'est. Son déplacement résultant est donné par <m>vec{d_{résultant}} = vec{d_1} + vec{d_2}</m>, avec <m>||vec{d_1}|| = 5 m</m> et <m>||vec{d_2}|| = 12 m</m>. La norme du déplacement résultant se calcule avec le théorème de Pythagore : <m>||vec{d_{résultant}}|| = sqrt{5^2 + 12^2} = 13 m</m>.
-**Méthode analytique :** On décompose chaque force selon deux axes orthogonaux (x et y) puis on additionne les composantes selon chaque axe pour obtenir les composantes de la force résultante. La norme de la résultante est donnée par le théorème de Pythagore.
+==== Chapitre 2 : Vecteurs et forces ====
-***Exemple :*** Deux forces <m>vec{F_1}</m> et <m>vec{F_2}</m> de même intensité (10 N) s'appliquent sur un point, <m>vec{F_1}</m> étant horizontale vers la droite et <m>vec{F_2}</m> verticale vers le haut. La résultante <m>vec{R} = vec{F_1} + vec{F_2}</m> a une intensité de <m>R = sqrt{10^2 + 10^2} approx 14.1 N</m> et fait un angle de 45° avec l'horizontale.
+=== 2.1 Représentation vectorielle d'une force ===
-==== Chapitre 2 : Vecteurs et déplacements ====
+Une **force** est une grandeur vectorielle caractérisée par :
-=== 2.1 Vecteur déplacement ===
+  * Son **point d'application** : le point où la force agit.
+  * Sa **direction** : la droite d'action de la force.
+  * Son **sens** : le sens de l'action de la force.
+  * Son **intensité** : la norme du vecteur force, mesurée en Newtons (N).
-Le déplacement d'un point M vers un point N est une grandeur vectorielle notée <m>vec{MN}</m>. Sa direction est la droite (MN), son sens va de M vers N et son intensité (norme) est la distance entre M et N. L'unité de la norme du vecteur déplacement est le **mètre (m)**.
+***Exemple :*** Une force de 10 N tire un objet vers le haut. Le vecteur force a une norme de 10 N, une direction verticale et un sens vers le haut.
-=== 2.2 Déplacements successifs ===
+=== 2.2 Composition des forces ===
-Si un point subit plusieurs déplacements successifs <m>vec{d_1}</m>, <m>vec{d_2}</m>, ..., <m>vec{d_n}</m>, le déplacement total est donné par la somme vectorielle de ces déplacements : <m>vec{d} = vec{d_1} + vec{d_2} + ... + vec{d_n}</m>.
+La **force résultante** est la somme vectorielle de toutes les forces agissant sur un objet. Si la force résultante est nulle, l'objet est en équilibre. La méthode du parallélogramme ou de la relation de Chasles s’applique ici aussi.
-***Exemple :*** Un objet se déplace de 3 m vers l'est puis de 4 m vers le nord. Le déplacement total est la diagonale d'un rectangle de côtés 3 m et 4 m, soit 5 m avec une direction et un sens à déterminer.
+***Exemple :*** Deux forces de 5 N et 8 N s'appliquent sur un objet avec un angle de 90° entre elles. La norme de la force résultante est <m>sqrt{5^2 + 8^2} = 9.43 N</m>.
-==== Chapitre 3 : Vecteurs et vitesses ====
+==== Chapitre 3 : Vecteurs et vitesse ====
 === 3.1 Vecteur vitesse ===
-La **vitesse** d'un objet en mouvement est une grandeur physique vectorielle. Sa direction est celle de la trajectoire de l'objet, son sens est celui du mouvement et son intensité (norme) est la vitesse scalaire, exprimée en **mètres par seconde (m.s⁻¹)**.
+La **vitesse** est un vecteur qui caractérise la variation de la position d'un objet au cours du temps. Sa direction est tangente à la trajectoire, son sens est celui du mouvement et sa norme est la vitesse scalaire, exprimée en mètres par seconde (m/s).
-=== 3.2 Vitesse moyenne ===
+***Exemple :*** Une voiture roule à 20 m/s vers le nord. Le vecteur vitesse a une norme de 20 m/s, une direction horizontale et un sens vers le nord.
-La vitesse moyenne est le vecteur déplacement divisé par la durée du déplacement. <m>vec{v_{moy}} = (vec{d}) / (t)</m>
+=== 3.2 Vecteur accélération ===
-==== Chapitre 4 : Applications combinées ====
+L'**accélération** est la variation du vecteur vitesse dans le temps. C'est un vecteur qui peut avoir différentes causes : variation de vitesse, variation de direction ou les deux simultanément. Elle est exprimée en mètres par seconde carrée (m/s²).
-Ce chapitre combine les notions des chapitres précédents pour résoudre des problèmes plus complexes impliquant forces, déplacements et vitesses.
+***Exemple :*** Une voiture accélère de 2 m/s² vers l'avant. Le vecteur accélération a une norme de 2 m/s², une direction horizontale et un sens vers l'avant.
-***Exemple :*** Un objet de masse m glisse sur un plan incliné d'un angle θ par rapport à l'horizontale. Déterminer la force de frottement nécessaire pour que l'objet reste immobile et la vitesse de glissement en fonction du coefficient de frottement µ. Ceci implique la décomposition des forces, l'utilisation du principe fondamental de la dynamique, et éventuellement le calcul de la vitesse de glissement.
+==== Chapitre 4 : Applications et Exercices ====
+Ce chapitre traite d'exemples concrets et d'exercices résolus.
+**Exercice 1:** Une balle est lancée avec une vitesse initiale de 10 m/s à 45° par rapport à l'horizontale. Décomposer ce vecteur vitesse en ses composantes horizontale et verticale.
+**Corrigé guidé:** Il faut utiliser la trigonométrie. La composante horizontale est <m>v_x = 10 cos(45^circ) approx 7.07 m.s^-1</m> et la composante verticale est <m>v_y = 10 sin(45^circ) approx 7.07 m.s^-1</m>.
+**Exercice 2:** Deux forces, <m>vec{F_1}</m> de 5 N vers l'est et <m>vec{F_2}</m> de 10 N vers le nord, agissent sur un objet. Déterminer la force résultante.
+**Corrigé guidé:** On utilise le théorème de Pythagore. La norme de la force résultante est <m>sqrt{5^2 + 10^2} = sqrt{125} approx 11.18 N</m>. Sa direction et son sens se déduisent à l'aide de la trigonométrie (arctan(5/10) = environ 26,6 degrés par rapport à la verticale vers l'Est).
 ==== Résumé ====
-  * Une **force** est une grandeur physique vectorielle caractérisée par son point d'application, sa direction, son sens et son intensité (en **Newtons (N)**).
+  * **Vecteur déplacement:** Relie un point de départ à un point d'arrivée, caractérisé par sa direction, son sens et sa norme (distance).
-  * La **force résultante** de forces concourantes est leur somme vectorielle.
+  * **Déplacement résultant:** Somme vectorielle des déplacements individuels.
-  * Le **vecteur déplacement** <m>vec{MN}</m> relie un point M à un point N ; son intensité est une distance (en **mètres (m)**).
+  * **Force:** Grandeur vectorielle caractérisée par son point d'application, sa direction, son sens et son intensité (mesurée en Newtons).
-  * Le **déplacement total** est la somme vectorielle des déplacements successifs.
+  * **Force résultante:** Somme vectorielle des forces agissant sur un objet.
-  * La **vitesse** est une grandeur vectorielle ; son intensité est la vitesse scalaire (en **mètres par seconde (m.s⁻¹)**).
+  * **Vitesse:** Vecteur caractérisant la variation de position dans le temps (norme en m/s).
-  * La **vitesse moyenne** est le vecteur déplacement divisé par la durée.
+  * **Accélération:** Vecteur caractérisant la variation de vitesse dans le temps (norme en m/s²).