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cours:lycee:generale:terminale_generale:mathematiques:la_fonction_exponentielle

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cours:lycee:generale:terminale_generale:mathematiques:la_fonction_exponentielle [2025/09/20 20:30] – [3.3 Exemples] prof67cours:lycee:generale:terminale_generale:mathematiques:la_fonction_exponentielle [2026/05/09 00:43] (Version actuelle) – Correction MathPublish (Gras e et Exposants) prof67
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   * **Première :** Manipulation des puissances (propriétés des exposants), fonctions polynomiales, fonctions rationnelles, logarithmes (définition et propriétés de base).   * **Première :** Manipulation des puissances (propriétés des exposants), fonctions polynomiales, fonctions rationnelles, logarithmes (définition et propriétés de base).
   * **Notion de limite** : Comprendre la notion de limite d'une fonction en un point et à l'infini.   * **Notion de limite** : Comprendre la notion de limite d'une fonction en un point et à l'infini.
-  * **Nombre *e*** : Connaître l'existence du nombre *e* et sa valeur approximative (2,718).+  * **Nombre **e**** : Connaître l'existence du nombre **e** et sa valeur approximative (2,718).
  
 Ce cours s'inscrit dans le chapitre dédié aux fonctions de référence en Terminale, après l'étude des fonctions polynomiales, rationnelles et trigonométriques. Il prépare les élèves aux notions plus avancées rencontrées en mathématiques supérieures, notamment en analyse et en probabilités. Ce cours s'inscrit dans le chapitre dédié aux fonctions de référence en Terminale, après l'étude des fonctions polynomiales, rationnelles et trigonométriques. Il prépare les élèves aux notions plus avancées rencontrées en mathématiques supérieures, notamment en analyse et en probabilités.
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 ==== 1.1 Définition de la fonction exponentielle ==== ==== 1.1 Définition de la fonction exponentielle ====
  
-La fonction exponentielle, notée <m>f(x) = e^x</m>, où *e* est un nombre irrationnel d'environ 2,71828, est une fonction fondamentale en mathématiques. Elle est définie pour tout nombre réel *x*.+La fonction exponentielle, notée <m>f (x) = e^x</m>, où **e** est un nombre irrationnel d'environ 2,71828, est une fonction fondamentale en mathématiques. Elle est définie pour tout nombre réel **x**.
  
-**Définition :** La fonction exponentielle de base *e*, notée <m>e^x</m>, est la fonction définie sur ℝ par <m>e^x = sum{k=0}{infty}(x^k/{k!})</m>.+**Définition :** La fonction exponentielle de base **e**, notée <m>e^x</m>, est la fonction définie sur ℝ par <m>e^x = Sigma _(k = 0)^( infty ) (x^k) / (k!)</m>.
  
-Cette définition, bien que formelle, peut paraître abstraite. Il est important de retenir que <m>e^x</m> représente une croissance (si *x* > 0) ou une décroissance (si *x* < 0) rapide.+Cette définition, bien que formelle, peut paraître abstraite. Il est important de retenir que <m>e^x</m> représente une croissance (si **x** > 0) ou une décroissance (si **x** < 0) rapide.
  
 ==== 1.2 Propriétés de la fonction exponentielle ==== ==== 1.2 Propriétés de la fonction exponentielle ====
Ligne 27: Ligne 27:
  
   * <m>e^0 = 1</m>   * <m>e^0 = 1</m>
-  * <m>e^{a+b} = e^a . e^b</m> +  * <m>e^(a + b) = e^a . e^b</m> 
-  * <m>e^{a-b} = (e^a)/(e^b)</m> +  * <m>e^(a - b) = (e^a) / (e^b)</m> 
-  * <m>(e^a)^b = e^{ab}</m> +  * <m>(e^a)^b = e^(ab)</m> 
-  * <m>e^{-x} = (1)/(e^x)</m>+  * <m>e^( - x) = (1) / (e^x)</m>
  
 Ces propriétés découlent directement de la définition de l'exponentielle et sont essentielles pour simplifier les expressions et résoudre les équations. Ces propriétés découlent directement de la définition de l'exponentielle et sont essentielles pour simplifier les expressions et résoudre les équations.
Ligne 44: Ligne 44:
 La dérivée de la fonction exponentielle est particulièrement simple : La dérivée de la fonction exponentielle est particulièrement simple :
  
-**Théorème :** La dérivée de la fonction <m>f(x) = e^x</m> est <m>f'(x) = e^x</m>.+**Théorème :** La dérivée de la fonction <m>f (x) = e^x</m> est <m>f prime (x) = e^x</m>.
  
 Cette propriété est unique : la fonction exponentielle est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée. Cette propriété est unique : la fonction exponentielle est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée.
Ligne 52: Ligne 52:
 L'intégrale de la fonction exponentielle est également simple : L'intégrale de la fonction exponentielle est également simple :
  
-**Théorème :** Une primitive de la fonction <m>f(x) = e^x</m> est <m>F(x) = e^x + C</m>, où C est une constante réelle.+**Théorème :** Une primitive de la fonction <m>f (x) = e^x</m> est <m>F (x) = e^x + C</m>, où C est une constante réelle.
  
 ==== 2.3 Applications ==== ==== 2.3 Applications ====
Ligne 62: Ligne 62:
 ==== 3.1 Résolution d'équations exponentielles ==== ==== 3.1 Résolution d'équations exponentielles ====
  
-Pour résoudre une équation exponentielle de la forme <m>e^{ax+b} = c</m>, on utilise la fonction logarithique népérienne (ln), qui est la fonction inverse de la fonction exponentielle.+Pour résoudre une équation exponentielle de la forme <m>e^(ax + b) = c</m>, on utilise la fonction logarithique népérienne (ln), qui est la fonction inverse de la fonction exponentielle.
  
 **Méthode :** **Méthode :**
  
-  - Appliquer le logarithme népérien aux deux membres de l'équation : <m>ln(e^{ax+b}) = ln(c)</m>. +  - Appliquer le logarithme népérien aux deux membres de l'équation : <m>ln (e^(ax + b)) = ln (c)</m>. 
-  - Simplifier : <m>ax + b = ln(c)</m>. +  - Simplifier : <m>ax + b = ln (c)</m>. 
-  - Résoudre l'équation linéaire en *x* : <m>x = (ln(c) - b)/(a)</m>.+  - Résoudre l'équation linéaire en **x** : <m>x = (ln (c) - b) / (a)</m>.
  
 ==== 3.2 Résolution d'inéquations exponentielles ==== ==== 3.2 Résolution d'inéquations exponentielles ====
  
-Pour résoudre une inéquation exponentielle de la forme <m>e^{ax+b} > c</m>, on procède de manière similaire :+Pour résoudre une inéquation exponentielle de la forme <m>e^(ax + b) > c</m>, on procède de manière similaire :
  
-  - Appliquer le logarithme népérien aux deux membres de l'inéquation : <m>ln(e^{ax+b}) > ln(c)</m>. +  - Appliquer le logarithme népérien aux deux membres de l'inéquation : <m>ln (e^(ax + b)) > ln (c)</m>. 
-  - Simplifier : <m>ax + b > ln(c)</m>. +  - Simplifier : <m>ax + b > ln (c)</m>. 
-  - Résoudre l'inéquation linéaire en *x* : <m>x > (ln(c) - b)/(a)</m> (si *a* > 0) ou <m>x < (ln(c) - b)/(a)</m> (si *a* < 0).+  - Résoudre l'inéquation linéaire en **x** : <m>x > (ln (c) - b) / (a)</m> (si **a** > 0) ou <m>x < (ln (c) - b) / (a)</m> (si **a** < 0).
  
 ==== 3.3 Exemples ==== ==== 3.3 Exemples ====
  
-**Exemple 1 :** Résoudre l'équation <m>e^{2x-1} = 5</m>.+**Exemple 1 :** Résoudre l'équation <m>e^(2x - 1) = 5</m>.
  
- <m>ln(e^{2x-1}) = ln(5)</m>+<m>ln (e^(2x - 1)) = ln (5)</m> 
 +<m>2x - 1 = ln (5)</m> 
 +<m>2x = ln (5) + 1</m> 
 +<m>x = (ln (5) + 1) / (2) approx 1,307</m>
  
- <m>2x - 1 = ln(5)</m>+**Exemple 2 :** Résoudre l'inéquation <m>e^( - x + 2) < 3</m>.
  
- <m>2x = ln(5) + 1</m> +<m>ln (e^( - x + 2)) < ln (3)</m> 
- +<m>- x + 2 < ln (3)</m> 
- <m>x = (ln(5) + 1)/(2) approx 1,307</m> +<m>- x < ln (3) - 2</m> 
- +<m>x > 2 - ln (3) approx 0,901</m>
-**Exemple 2 :** Résoudre l'inéquation <m>e^{-x+2} < 3</m>. +
- +
- <m>ln(e^{-x+2}) < ln(3)</m> +
- +
- <m>-x + 2 < ln(3)</m> +
- +
- <m>-x < ln(3) - 2</m> +
- +
- <m>x > 2 - ln(3) approx 0,901</m>+
  
 ===== Chapitre 4 : Applications de la fonction exponentielle ===== ===== Chapitre 4 : Applications de la fonction exponentielle =====
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 La fonction exponentielle est utilisée pour modéliser de nombreux phénomènes de croissance ou de décroissance, tels que : La fonction exponentielle est utilisée pour modéliser de nombreux phénomènes de croissance ou de décroissance, tels que :
  
-  * **Croissance démographique :** <m>N (t) = N _0 e^{kt}</m>, où <m>N _0</m> est la population initiale, *k* est le taux de croissance, et *t* est le temps. +  * **Croissance démographique :** <m>N (t) = N _0 e^(kt)</m>, où <m>N _0</m> est la population initiale, **k** est le taux de croissance, et **t** est le temps. 
-  * **Désintégration radioactive :** <m>N (t) = N _0 e^{-lambda t}</m>, où <m>N _0</m> est la quantité initiale de matière radioactive, <m>lambda</m> est la constante de désintégration, et *t* est le temps. +  * **Désintégration radioactive :** <m>N (t) = N _0 e^( - lambda t)</m>, où <m>N _0</m> est la quantité initiale de matière radioactive, <m>lambda</m> est la constante de désintégration, et **t** est le temps. 
-  * **Intérêt composé :** <m>C(t) = C_0 e^{rt}</m>, où <m>C_0</m> est le capital initial, *r* est le taux d'intérêt, et *t* est le temps.+  * **Intérêt composé :** <m>C (t) = C_0 e^(rt)</m>, où <m>C_0</m> est le capital initial, **r** est le taux d'intérêt, et **t** est le temps.
  
 ==== 4.2 Applications en physique et en chimie ==== ==== 4.2 Applications en physique et en chimie ====
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 ===== Résumé ===== ===== Résumé =====
  
-  * **Fonction exponentielle :** <m>f(x) = e^x</m>, où *e* ≈ 2,71828. +  * **Fonction exponentielle :** <m>f (x) = e^x</m>, où **e** ≈ 2,71828. 
-  * **Propriétés :** <m>e^0 = 1</m>, <m>e^{a+b} = e^a . e^b</m>, <m>e^{a-b} = (e^a)/(e^b)</m>, <m>(e^a)^b = e^{ab}</m>, <m>e^{-x} = (1)/(e^x)</m>. +  * **Propriétés :** <m>e^0 = 1</m>, <m>e^(a + b) = e^a . e^b</m>, <m>e^(a - b) = (e^a) / (e^b)</m>, <m>(e^a)^b = e^(ab)</m>, <m>e^( - x) = (1) / (e^x)</m>. 
-  * **Dérivée :** <m>(e^x)prime = e^x</m>.+  * **Dérivée :** <m>(e^x) prime = e^x</m>.
   * **Intégrale :** <m>int e^x dx = e^x + C</m>.   * **Intégrale :** <m>int e^x dx = e^x + C</m>.
-  * **Équations exponentielles :** <m>e^{ax+b} = c doubleright x = (ln(c) - b)/(a)</m>. +  * **Équations exponentielles :** <m>e^(ax + b) = c double x = (ln (c) - b) / (a)</m>. 
-  * **Inéquations exponentielles :** <m>e^{ax+b} > c doubleright x > (ln(c) - b)/(a)</m> (si *a* > 0) ou <m>x < (ln(c) - b)/(a)</m> (si *a* < 0).+  * **Inéquations exponentielles :** <m>e^(ax + b) > c double x > (ln (c) - b) / (a)</m> (si **a** > 0) ou <m>x < (ln (c) - b) / (a)</m> (si **a** < 0).
   * **Applications :** Croissance démographique, désintégration radioactive, intérêt composé, lois physiques et chimiques, complexité algorithmique.   * **Applications :** Croissance démographique, désintégration radioactive, intérêt composé, lois physiques et chimiques, complexité algorithmique.
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