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| cours:lycee:generale:terminale_generale:mathematiques:suites_et_limites [2025/07/07 20:39] – Cours généré par l'IA: Suites et limites (lycee, terminale_generale, mathematiques) wikiprof | cours:lycee:generale:terminale_generale:mathematiques:suites_et_limites [2025/07/08 00:05] (Version actuelle) – prof67 |
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| Pour aborder ce cours sur les suites et les limites, il est essentiel de maîtriser les notions suivantes acquises au cours des classes précédentes : | Pour aborder ce cours sur les suites et les limites, il est essentiel de maîtriser les notions suivantes acquises au cours des classes précédentes : |
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| * **Nombres réels :** Connaissance des propriétés des nombres réels, des opérations de base (addition, soustraction, multiplication, division) et des inégalités. | * **Nombres réels :** Connaissance des propriétés des nombres réels, des opérations de base (addition, soustraction, multiplication, division) et de la représentation des nombres sur une droite numérique. |
| * **Fonctions :** Notions de base sur les fonctions, leur représentation graphique et leur vocabulaire (domaine de définition, image, antécédents). | * **Fonctions :** Notions de base sur les fonctions, leur représentation graphique et leur vocabulaire (domaine de définition, image, antécédents). |
| * **Algèbre :** Maîtrise des manipulations algébriques de base (factorisation, développement, résolution d'équations du premier et du second degré). | * **Algèbre :** Maîtrise des manipulations algébriques de base (développement, factorisation, résolution d'équations et d'inéquations). |
| * **Suites numériques (introduction) :** Une première approche des suites numériques en seconde, notamment la notion de terme général et de suite arithmétique et géométrique. | * **Notion d'indice :** Compréhension de l'utilisation des indices pour désigner les éléments d'une suite. |
| | * **Ce cours se situe dans la partie "Nombre et Calcul" du programme de Terminale Générale, après l'étude des fonctions et avant l'introduction au calcul intégral.** |
| Ce cours s'inscrit dans la progression des chapitres de l'année de terminale, généralement après l'étude des fonctions et avant l'introduction au calcul intégral. Il constitue une base solide pour les études supérieures en mathématiques, en sciences de l'ingénieur et dans d'autres disciplines scientifiques. | |
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| ===== Chapitre 1 : Introduction aux suites numériques ===== | ===== Chapitre 1 : Introduction aux suites numériques ===== |
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| ==== Définition d'une suite numérique ==== | ==== Définition d'une suite ==== |
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| Une **suite numérique** est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels (<m>mathbb{N }</m>) ou une partie de celui-ci, à valeurs dans l'ensemble des nombres réels (<m>mathbb{R}</m>). On la note généralement <m>(u_n)</m> où <m>n</m> est l'indice et <m>u_n</m> est le terme général de la suite. | Une **suite numérique** est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels <m>bbN</m> (ou une partie de <m>bbN</m>) et qui associe à chaque entier naturel <m>n</m> un nombre réel <m>u_n</m>. On note généralement une suite <m>(u_n)</m>. |
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| **Exemple :** La suite définie par <m>u_n = 2n + 1</m> pour tout <m>n in mathbb{N }</m> est une suite numérique dont les premiers termes sont : <m>u_0 = 1</m>, <m>u_1 = 3</m>, <m>u_2 = 5</m>, <m>u_3 = 7</m>, etc. | * <m>n</m> est appelé l'**indice** de la suite. |
| | * <m>u_n</m> est appelé le **terme général** de la suite. |
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| | * **Exemple :** La suite définie par <m>u_n = 2n + 1</m> pour tout <m>n in bbN</m> est une suite arithmétique. Les premiers termes de cette suite sont : <m>u_0 = 1</m>, <m>u_1 = 3</m>, <m>u_2 = 5</m>, <m>u_3 = 7</m>, etc. |
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| ==== Manières de définir une suite ==== | ==== Manières de définir une suite ==== |
| Il existe plusieurs manières de définir une suite : | Il existe plusieurs manières de définir une suite : |
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| * **Par son terme général :** Comme dans l'exemple ci-dessus, on donne une formule explicite pour calculer <m>u_n</m> en fonction de <m>n</m>. | * **Par son terme général :** Comme dans l'exemple précédent, on donne une formule explicite pour calculer <m>u_n</m> en fonction de <m>n</m>. |
| * **Par récurrence :** On donne le premier terme <m>u_0</m> (ou <m>u_1</m>) et une relation de récurrence qui permet de calculer <m>u_{n+1}</m> en fonction de <m>u_n</m>. | * **Par récurrence :** On donne le premier terme <m>u_0</m> (ou <m>u_1</m>) et une relation de récurrence qui permet de calculer <m>u_{n+1}</m> en fonction de <m>u_n</m>. |
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| **Exemple :** La suite de Fibonacci est définie par <m>u_0 = 0</m>, <m>u_1 = 1</m> et <m>u_{n+2} = u_{n+1} + u_n</m> pour tout <m>n in mathbb{N }</m>. | ***Exemple :*** La suite de Fibonacci est définie par <m>u_0 = 0</m>, <m>u_1 = 1</m> et <m>u_{n+2} = u_{n+1} + u_n</m> pour tout <m>n in bbN</m>. |
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| ==== Représentation graphique d'une suite ==== | |
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| On peut représenter graphiquement une suite en plaçant les points de coordonnées <m>(n, u_n)</m> dans un repère. | |
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| ===== Chapitre 2 : Suites arithmétiques et géométriques ===== | ===== Chapitre 2 : Suites arithmétiques et géométriques ===== |
| ==== Suites arithmétiques ==== | ==== Suites arithmétiques ==== |
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| Une **suite arithmétique** est une suite dont chaque terme est obtenu en ajoutant une constante, appelée **raison** (notée <m>r</m>), au terme précédent. On a donc <m>u_{n+1} = u_n + r</m> pour tout <m>n in mathbb{N }</m>. | Une suite <m>(u_n)</m> est dite **arithmétique** s'il existe un nombre réel <m>r</m> tel que <m>u_{n+1} = u_n + r</m> pour tout <m>n in bbN</m>. Le nombre <m>r</m> est appelé la **raison** de la suite. |
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| *Formule du terme général :* <m>u_n = u_0 + nr</m> | * Le terme général d'une suite arithmétique est donné par : <m>u_n = u_0 + nr</m>. |
| | * La somme des <m>n+1</m> premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par : <m>S_n = (n+1)/(2)(u_0 + u_n)</m>. |
| **Exemple :** La suite définie par <m>u_n = 3n + 2</m> est une suite arithmétique de raison <m>r = 3</m> et de premier terme <m>u_0 = 2</m>. | |
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| ==== Suites géométriques ==== | ==== Suites géométriques ==== |
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| Une **suite géométrique** est une suite dont chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante, appelée **raison** (notée <m>q</m>). On a donc <m>u_{n+1} = q u_n</m> pour tout <m>n in mathbb{N }</m>. | Une suite <m>(u_n)</m> est dite **géométrique** s'il existe un nombre réel <m>q</m> tel que <m>u_{n+1} = q u_n</m> pour tout <m>n in bbN</m>. Le nombre <m>q</m> est appelé la **raison** de la suite. |
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| *Formule du terme général :* <m>u_n = u_0 q^n</m> | * Le terme général d'une suite géométrique est donné par : <m>u_n = u_0 q^n</m>. |
| | * La somme des <m>n+1</m> premiers termes d'une suite géométrique est donnée par : <m>S_n = u_0 (1 - q^{n+1})/(1 - q)</m> si <m>q \≠ 1</m>. |
| **Exemple :** La suite définie par <m>u_n = 5 . 2^n</m> est une suite géométrique de raison <m>q = 2</m> et de premier terme <m>u_0 = 5</m>. | |
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| ===== Chapitre 3 : Limites d'une suite ===== | ===== Chapitre 3 : Limites d'une suite ===== |
| ==== Notion intuitive de limite ==== | ==== Notion intuitive de limite ==== |
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| On dit qu'une suite <m>(u_n)</m> converge vers une limite <m>l</m> si les termes de la suite se rapprochent de plus en plus de <m>l</m> lorsque <m>n</m> devient de plus en plus grand. On note alors <m>lim_{n right infty} u_n = l</m>. | On dit qu'une suite <m>(u_n)</m> converge vers une limite <m>l</m> si, à partir d'un certain rang, les termes de la suite se rapprochent de plus en plus de <m>l</m>. On note alors <m>\lim_{n right infty} u_n = l</m>. |
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| ==== Définition formelle de la limite ==== | ==== Définition formelle de la limite ==== |
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| Pour définir rigoureusement la limite d'une suite, on utilise la notion d'epsilon. On dit que <m>lim_{n right infty} u_n = l</m> si, pour tout <m>epsilon > 0</m>, il existe un entier <m>N </m> tel que pour tout <m>n > N </m>, on ait <m>|u_n - l| < epsilon</m>. | Une suite <m>(u_n)</m> converge vers une limite <m>l</m> si, pour tout nombre réel <m>epsilon > 0</m>, il existe un entier <m>N</m> tel que pour tout <m>n > N</m>, on ait <m>|u_n - l| < epsilon</m>. |
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| ==== Suites convergentes, divergentes et non définies ==== | ===== Chapitre 4 : Opérations sur les limites ===== |
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| * **Suite convergente :** Une suite qui admet une limite finie. | ==== Limites de sommes et de produits ==== |
| * **Suite divergente :** Une suite qui n'admet pas de limite finie. Elle peut tendre vers l'infini (positivement ou négativement) ou osciller. | |
| * **Suite indéfinie :** Une suite dont le comportement est imprévisible. | |
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| ===== Chapitre 4 : Opérations sur les limites ===== | Si <m>(u_n)</m> et <m>(v_n)</m> sont deux suites convergentes de limites respectives <m>l</m> et <m>l prime</m>, alors : |
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| ==== Limites de sommes, produits et quotients ==== | * <m>\lim_{n right infty} (u_n + v_n) = l + l prime</m> |
| | * <m>\lim_{n right infty} (u_n . v_n) = l . l prime</m> |
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| Si <m>(u_n)</m> et <m>(v_n)</m> sont deux suites convergentes de limites respectives <m>l</m> et <m>l'</m>, alors : | ==== Limites de quotients ==== |
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| * <m>lim_{n right infty} (u_n + v_n) = l + l'</m> | Si <m>(u_n)</m> et <m>(v_n)</m> sont deux suites convergentes de limites respectives <m>l</m> et <m>l prime</m>, avec <m>l prime ≠ 0</m>, alors : |
| * <m>lim_{n right infty} (u_n . v_n) = l . l'</m> | |
| * Si <m>l' \≠ 0</m>, alors <m>lim_{n right infty} (u_n)/(v_n) = (l)/(l')</m> | <m>\lim_{n right infty} (u_n)/(v_n) = (l)/(l prime)</m> |
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| | ===== Chapitre 5 : Suites monotones et bornées ===== |
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| | ==== Suites monotones ==== |
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| | Une suite est dite **croissante** si <m>u_{n+1} \>= u_n</m> pour tout <m>n in bbN</m>. Elle est dite **décroissante** si <m>u_{n+1} \<= u_n</m> pour tout <m>n in bbN</m>. |
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| | ==== Suites bornées ==== |
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| | Une suite est dite **bornée** s'il existe un nombre réel <m>M</m> tel que <m>|u_n| \<= M</m> pour tout <m>n in bbN</m>. |
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| | ==== Théorème de la convergence monotone ==== |
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| | Toute suite monotone et bornée est convergente. |
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| | ===== Chapitre 6 : Limites et comparaison ===== |
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| ==== Théorème de comparaison ==== | ==== Théorème de comparaison ==== |
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| Si <m>u_n \<= v_n</m> à partir d'un certain rang, et si <m>lim_{n right infty} u_n = l</m> et <m>lim_{n right infty} v_n = l'</m>, alors <m>l \<= l'</m>. | Si <m>u_n \>= v_n</m> à partir d'un certain rang et si <m>\lim_{n right infty} v_n = l</m>, alors <m>\lim_{n right infty} u_n = l</m>. |
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| ==== Théorème d'encadrement (ou des gendarmes) ==== | ==== Théorème d'encadrement (ou des gendarmes) ==== |
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| Si <m>u_n \<= v_n \<= w_n</m> à partir d'un certain rang, et si <m>lim_{n right infty} u_n = lim_{n right infty} w_n = l</m>, alors <m>lim_{n right infty} v_n = l</m>. | Si <m>u_n \<= v_n \<= w_n</m> à partir d'un certain rang et si <m>\lim_{n right infty} u_n = \lim_{n right infty} w_n = l</m>, alors <m>\lim_{n right infty} v_n = l</m>. |
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| | ===== Chapitre 7 : Formes indéterminées ===== |
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| | ==== Les formes indéterminées ==== |
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| | Certaines expressions impliquant des limites peuvent donner lieu à des **formes indéterminées**, c'est-à-dire des expressions dont la limite ne peut pas être déterminée directement. Les formes indéterminées les plus courantes sont : |
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| | * <m>(0)/(0)</m> |
| | * <m>(infty)/(infty)</m> |
| | * <m>0 . infty</m> |
| | * <m>infty - infty</m> |
| | * <m>1^{infty}</m> |
| | * <m>0^0</m> |
| | * <m>infty^0</m> |
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| | ==== Méthodes pour lever les formes indéterminées ==== |
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| | Pour lever les formes indéterminées, on peut utiliser différentes méthodes, telles que : |
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| ===== Chapitre 5 : Suites monotones et limites ===== | * La factorisation |
| | * La multiplication par un conjugué |
| | * Le théorème de comparaison |
| | * La règle de l'Hôpital (qui sera étudiée plus tard) |
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| ==== Suites croissantes et décroissantes ==== | ===== Chapitre 8 : Applications des suites et limites ===== |
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| * **Suite croissante :** Une suite <m>(u_n)</m> est croissante si <m>u_{n+1} \>= u_n</m> pour tout <m>n in mathbb{N }</m>. | ==== Intérêt des suites ==== |
| * **Suite décroissante :** Une suite <m>(u_n)</m> est décroissante si <m>u_{n+1} \<= u_n</m> pour tout <m>n in mathbb{N }</m>. | |
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| ==== Théorème de la limite monotone ==== | Les suites sont utilisées pour modéliser de nombreux phénomènes dans des domaines variés tels que : |
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| * Si une suite <m>(u_n)</m> est croissante et majorée, alors elle converge vers une limite finie. | * La croissance démographique |
| * Si une suite <m>(u_n)</m> est décroissante et minorée, alors elle converge vers une limite finie. | * L'évolution d'un capital investi |
| | * La décroissance radioactive |
| | * L'approximation de nombres irrationnels |
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| ===== Chapitre 6 : Limites et applications ===== | ==== Exemples d'applications ==== |
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| ==== Calcul de limites de suites ==== | **Exemple 1 :** Calculer la limite de la suite <m>u_n = (n^2 + 1)/(2n^2 - 3)</m>. |
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| On utilise les théorèmes et les propriétés étudiés précédemment pour calculer les limites de suites. | <m>\lim_{n right infty} (n^2 + 1)/(2n^2 - 3) = \lim_{n right infty} (1 + frac{1)/(n^2)}{2 - (3)/(n^2)} = (1)/(2)</m>. |
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| **Exemple :** Soit <m>u_n = (2n + 1)/(n + 3)</m>. On a <m>lim_{n right infty} u_n = lim_{n right infty} (2 + frac{1)/(n)}{1 + (3)/(n)} = (2)/(1) = 2</m>. | **Exemple 2 :** Étudier la convergence de la suite <m>u_n = sqrt{n+1} - sqrt{n}</m>. |
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| ==== Applications des limites de suites ==== | <m>u_n = sqrt{n+1} - sqrt{n} = ((sqrt{n+1} - sqrt{n})(sqrt{n+1} + sqrt{n}))/(sqrt{n+1) + sqrt{n}} = (1)/(sqrt{n+1) + sqrt{n}}</m>. |
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| Les limites de suites sont utilisées dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment pour définir la notion de continuité d'une fonction, pour calculer des intégrales et pour étudier la convergence de séries. | <m>\lim_{n right infty} u_n = 0</m>. |
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| ===== Résumé ===== | ===== Résumé ===== |
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| * **Suite numérique :** Fonction définie sur <m>mathbb{N }</m> à valeurs dans <m>mathbb{R}</m>. | * Une **suite numérique** est une fonction définie sur <m>bbN</m> (ou une partie de <m>bbN</m>). |
| * **Suite arithmétique :** <m>u_{n+1} = u_n + r</m>, <m>u_n = u_0 + nr</m>. | * Une suite **arithmétique** est définie par une raison <m>r</m>: <m>u_{n+1} = u_n + r</m>. Son terme général est <m>u_n = u_0 + nr</m>. |
| * **Suite géométrique :** <m>u_{n+1} = q u_n</m>, <m>u_n = u_0 q^n</m>. | * Une suite **géométrique** est définie par une raison <m>q</m>: <m>u_{n+1} = q u_n</m>. Son terme général est <m>u_n = u_0 q^n</m>. |
| * **Limite d'une suite :** Valeur vers laquelle les termes de la suite tendent lorsque <m>n</m> devient de plus en plus grand. | * La **limite** d'une suite <m>(u_n)</m> est un nombre <m>l</m> tel que les termes de la suite se rapprochent de <m>l</m> lorsque <m>n</m> tend vers l'infini. |
| * **Suite convergente :** Suite qui admet une limite finie. | * Les **opérations sur les limites** permettent de calculer la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de suites. |
| * **Suite divergente :** Suite qui n'admet pas de limite finie. | * Une suite **monotone** est soit croissante, soit décroissante. |
| * **Opérations sur les limites :** Somme, produit, quotient. | * Une suite **bornée** est une suite dont les termes sont compris entre deux bornes. |
| * **Théorème de comparaison :** Si <m>u_n \<= v_n</m> et <m>lim_{n right infty} u_n = lim_{n right infty} v_n = l</m>, alors <m>l \<= l'</m>. | * Le **théorème de la convergence monotone** affirme que toute suite monotone et bornée est convergente. |
| * **Théorème d'encadrement :** Si <m>u_n \<= v_n \<= w_n</m> et <m>lim_{n right infty} u_n = lim_{n right infty} w_n = l</m>, alors <m>lim_{n right infty} v_n = l</m>. | * Le **théorème de comparaison** et le **théorème d'encadrement** permettent de déterminer la limite d'une suite en la comparant à d'autres suites. |
| * **Suite croissante :** <m>u_{n+1} \>= u_n</m>. | * Les **formes indéterminées** sont des expressions dont la limite ne peut pas être déterminée directement. |
| * **Suite décroissante :** <m>u_{n+1} \<= u_n</m>. | * Les suites et les limites sont utilisées pour modéliser de nombreux phénomènes dans des domaines variés. |
| * **Théorème de la limite monotone :** Une suite croissante et majorée converge. Une suite décroissante et minorée converge. | |
