Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- cours:lycee:generale:terminale_generale:mathematiques:suites_et_limites [2025/07/07 22:04] – [Résumé] prof67
+++ cours:lycee:generale:terminale_generale:mathematiques:suites_et_limites [2025/07/08 00:05] (Version actuelle) – prof67
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 Pour aborder ce cours sur les suites et les limites, il est essentiel de maîtriser les notions suivantes acquises au cours des classes précédentes :
-  * **Nombres réels :** Connaissance des propriétés des nombres réels, des opérations de base (addition, soustraction, multiplication, division) et de la notion d'ordre.
+  * **Nombres réels :** Connaissance des propriétés des nombres réels, des opérations de base (addition, soustraction, multiplication, division) et de la représentation des nombres sur une droite numérique.
   * **Fonctions :** Notions de base sur les fonctions, leur représentation graphique et leur vocabulaire (domaine de définition, image, antécédents).
-  * **Algèbre :** Maîtrise des manipulations algébriques de base (développement, factorisation, résolution d'équations du premier et du second degré).
+  * **Algèbre :** Maîtrise des manipulations algébriques de base (développement, factorisation, résolution d'équations et d'inéquations).
-  * **Notion d'indice :** Compréhension de la notion d'indice dans une suite (u<sub>n</sub>).
+  * **Notion d'indice :** Compréhension de l'utilisation des indices pour désigner les éléments d'une suite.
   * **Ce cours se situe dans la partie "Nombre et Calcul" du programme de Terminale Générale, après l'étude des fonctions et avant l'introduction au calcul intégral.**
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 ==== Définition d'une suite ====
-Une **suite numérique** est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels (ℕ) ou une partie de celui-ci, à valeurs dans l'ensemble des nombres réels (ℝ). On la note généralement (u<sub>n</sub>) où n est l'indice. Chaque terme u<sub>n</sub> est appelé terme général de la suite.
+Une **suite numérique** est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels <m>bbN</m> (ou une partie de <m>bbN</m>) et qui associe à chaque entier naturel <m>n</m> un nombre réel <m>u_n</m>. On note généralement une suite <m>(u_n)</m>.
-**Exemple :** La suite définie par u<sub>n</sub> = 2n + 1 pour tout n ∈ ℕ est une suite arithmétique. Les premiers termes sont : u<sub>0</sub> = 1, u<sub>1</sub> = 3, u<sub>2</sub> = 5, u<sub>3</sub> = 7, etc.
+  * <m>n</m> est appelé l'**indice** de la suite.
+  * <m>u_n</m> est appelé le **terme général** de la suite.
+  * **Exemple :** La suite définie par <m>u_n = 2n + 1</m> pour tout <m>n in bbN</m> est une suite arithmétique. Les premiers termes de cette suite sont : <m>u_0 = 1</m>, <m>u_1 = 3</m>, <m>u_2 = 5</m>, <m>u_3 = 7</m>, etc.
 ==== Manières de définir une suite ====
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 Il existe plusieurs manières de définir une suite :
-  * **Par son terme général :** u<sub>n</sub> est exprimé en fonction de n.
+  * **Par son terme général :** Comme dans l'exemple précédent, on donne une formule explicite pour calculer <m>u_n</m> en fonction de <m>n</m>.
-  * **Par récurrence :** On donne le premier terme u<sub>0</sub> et une relation de récurrence qui permet de calculer u<sub>n+1</sub> en fonction de u<sub>n</sub>.
+  * **Par récurrence :** On donne le premier terme <m>u_0</m> (ou <m>u_1</m>) et une relation de récurrence qui permet de calculer <m>u_{n+1}</m> en fonction de <m>u_n</m>.
-**Exemple :** Suite définie par u<sub>0</sub> = 1 et u<sub>n+1</sub> = u<sub>n</sub> + 2. Les premiers termes sont : u<sub>0</sub> = 1, u<sub>1</sub> = 3, u<sub>2</sub> = 5, u<sub>3</sub> = 7, etc. (suite arithmétique).
+***Exemple :*** La suite de Fibonacci est définie par <m>u_0 = 0</m>, <m>u_1 = 1</m> et <m>u_{n+2} = u_{n+1} + u_n</m> pour tout <m>n in bbN</m>.
-==== Représentation graphique d'une suite ====
-On peut représenter graphiquement une suite en plaçant les points de coordonnées (n, u<sub>n</sub>) dans un repère. Ces points sont généralement isolés, contrairement à la représentation graphique d'une fonction continue.
 ===== Chapitre 2 : Suites arithmétiques et géométriques =====
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 ==== Suites arithmétiques ====
-Une **suite arithmétique** est une suite dont chaque terme est obtenu en ajoutant une constante (appelée **raison** *r*) au terme précédent. On a donc u<sub>n+1</sub> = u<sub>n</sub> + r.
+Une suite <m>(u_n)</m> est dite **arithmétique** s'il existe un nombre réel <m>r</m> tel que <m>u_{n+1} = u_n + r</m> pour tout <m>n in bbN</m>. Le nombre <m>r</m> est appelé la **raison** de la suite.
-*Formule du terme général :* u<sub>n</sub> = u<sub>0</sub> + nr
+  * Le terme général d'une suite arithmétique est donné par : <m>u_n = u_0 + nr</m>.
+  * La somme des <m>n+1</m> premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par : <m>S_n = (n+1)/(2)(u_0 + u_n)</m>.
-*Formule de la somme des n premiers termes :* S<sub>n</sub> = <m>(n)/(2)(u_0 + u_n)</m>
-**Exemple :** La suite définie par u<sub>0</sub> = 2 et r = 3 est une suite arithmétique. u<sub>n</sub> = 2 + 3n.
 ==== Suites géométriques ====
-Une **suite géométrique** est une suite dont chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante (appelée **raison** *q*). On a donc u<sub>n+1</sub> = q * u<sub>n</sub>.
+Une suite <m>(u_n)</m> est dite **géométrique** s'il existe un nombre réel <m>q</m> tel que <m>u_{n+1} = q u_n</m> pour tout <m>n in  bbN</m>. Le nombre <m>q</m> est appelé la **raison** de la suite.
-*Formule du terme général :* u<sub>n</sub> = u<sub>0</sub> * q<sup>n</sup>
+  * Le terme général d'une suite géométrique est donné par : <m>u_n = u_0 q^n</m>.
+  * La somme des <m>n+1</m> premiers termes d'une suite géométrique est donnée par : <m>S_n = u_0 (1 - q^{n+1})/(1 - q)</m> si <m>q \≠ 1</m>.
-*Formule de la somme des n premiers termes :* S<sub>n</sub> = u<sub>0</sub> * <m>(1 - q^{n+1})/(1 - q)</m> si q ≠ 1
-**Exemple :** La suite définie par u<sub>0</sub> = 1 et q = 2 est une suite géométrique. u<sub>n</sub> = 2<sup>n</sup>.
 ===== Chapitre 3 : Limites d'une suite =====
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 ==== Notion intuitive de limite ====
-On dit qu'une suite (u<sub>n</sub>) converge vers une limite *l* si les termes de la suite se rapprochent de *l* lorsque n devient suffisamment grand.
+On dit qu'une suite <m>(u_n)</m> converge vers une limite <m>l</m> si, à partir d'un certain rang, les termes de la suite se rapprochent de plus en plus de <m>l</m>. On note alors <m>\lim_{n right infty} u_n = l</m>.
 ==== Définition formelle de la limite ====
-Une suite (u<sub>n</sub>) converge vers une limite *l* si et seulement si pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que pour tout n > N, |u<sub>n</sub> - l| < ε.
+Une suite <m>(u_n)</m> converge vers une limite <m>l</m> si, pour tout nombre réel <m>epsilon > 0</m>, il existe un entier <m>N</m> tel que pour tout <m>n > N</m>, on ait <m>|u_n - l| < epsilon</m>.
-==== Suites convergentes, divergentes et non bornées ====
+===== Chapitre 4 : Opérations sur les limites =====
-  * **Suite convergente :** Suite qui admet une limite finie.
+==== Limites de sommes et de produits ====
-  * **Suite divergente :** Suite qui ne converge pas vers une limite finie.
-  * **Suite non bornée :** Suite dont les termes ne sont pas limités dans un intervalle fini.
-===== Chapitre 4 : Opérations sur les limites =====
+Si <m>(u_n)</m> et <m>(v_n)</m> sont deux suites convergentes de limites respectives <m>l</m> et <m>l prime</m>, alors :
-==== Limites de sommes, produits et quotients ====
+  * <m>\lim_{n right infty} (u_n + v_n) = l + l prime</m>
+  * <m>\lim_{n right infty} (u_n . v_n) = l . l prime</m>
-Si (u<sub>n</sub>) et (v<sub>n</sub>) sont deux suites convergentes de limites respectives *l* et *l'*, alors :
+==== Limites de quotients ====
-  * lim (u<sub>n</sub> + v<sub>n</sub>) = l + l'
+Si <m>(u_n)</m> et <m>(v_n)</m> sont deux suites convergentes de limites respectives <m>l</m> et <m>l prime</m>, avec <m>l prime ≠ 0</m>, alors :
-  * lim (u<sub>n</sub> * v<sub>n</sub>) = l * l'
-  * lim (u<sub>n</sub> / v<sub>n</sub>) = l / l' si l' ≠ 0
-==== Limites et inégalités ====
+<m>\lim_{n right infty} (u_n)/(v_n) = (l)/(l prime)</m>
-Si u<sub>n</sub> ≤ v<sub>n</sub> pour tout n à partir d'un certain rang, et si lim(u<sub>n</sub>) = l et lim(v<sub>n</sub>) = l', alors l ≤ l'.
-===== Chapitre 5 : Limites et comparaison =====
+===== Chapitre 5 : Suites monotones et bornées =====
-==== Théorème des gendarmes (ou théorème de comparaison) ====
+==== Suites monotones ====
-Si (u<sub>n</sub>), (v<sub>n</sub>) et (w<sub>n</sub>) sont trois suites telles que u<sub>n</sub> ≤ v<sub>n</sub> ≤ w<sub>n</sub> pour tout n à partir d'un certain rang, et si lim(u<sub>n</sub>) = lim(w<sub>n</sub>) = l, alors lim(v<sub>n</sub>) = l.
+Une suite est dite **croissante** si <m>u_{n+1} \>= u_n</m> pour tout <m>n in  bbN</m>. Elle est dite **décroissante** si <m>u_{n+1} \<= u_n</m> pour tout <m>n in  bbN</m>.
-==== Suites monotones et bornées ====
+==== Suites bornées ====
-  * **Suite croissante :** u<sub>n+1</sub> ≥ u<sub>n</sub> pour tout n.
+Une suite est dite **bornée** s'il existe un nombre réel <m>M</m> tel que <m>|u_n| \<= M</m> pour tout <m>n in  bbN</m>.
-  * **Suite décroissante :** u<sub>n+1</sub> ≤ u<sub>n</sub> pour tout n.
-  * **Suite monotone :** Suite croissante ou décroissante.
+==== Théorème de la convergence monotone ====
 Toute suite monotone et bornée est convergente.
-===== Chapitre 6 : Limites et applications =====
+===== Chapitre 6 : Limites et comparaison =====
+==== Théorème de comparaison ====
+Si <m>u_n \>= v_n</m> à partir d'un certain rang et si <m>\lim_{n right infty} v_n = l</m>, alors <m>\lim_{n right infty} u_n = l</m>.
+==== Théorème d'encadrement (ou des gendarmes) ====
+Si <m>u_n \<= v_n \<= w_n</m> à partir d'un certain rang et si <m>\lim_{n right infty} u_n = \lim_{n right infty} w_n = l</m>, alors <m>\lim_{n right infty} v_n = l</m>.
+===== Chapitre 7 : Formes indéterminées =====
+==== Les formes indéterminées ====
+Certaines expressions impliquant des limites peuvent donner lieu à des **formes indéterminées**, c'est-à-dire des expressions dont la limite ne peut pas être déterminée directement. Les formes indéterminées les plus courantes sont :
+  * <m>(0)/(0)</m>
+  * <m>(infty)/(infty)</m>
+  * <m>0 . infty</m>
+  * <m>infty - infty</m>
+  * <m>1^{infty}</m>
+  * <m>0^0</m>
+  * <m>infty^0</m>
+==== Méthodes pour lever les formes indéterminées ====
+Pour lever les formes indéterminées, on peut utiliser différentes méthodes, telles que :
+  * La factorisation
+  * La multiplication par un conjugué
+  * Le théorème de comparaison
+  * La règle de l'Hôpital (qui sera étudiée plus tard)
+===== Chapitre 8 : Applications des suites et limites =====
+==== Intérêt des suites ====
+Les suites sont utilisées pour modéliser de nombreux phénomènes dans des domaines variés tels que :
+  * La croissance démographique
+  * L'évolution d'un capital investi
+  * La décroissance radioactive
+  * L'approximation de nombres irrationnels
+==== Exemples d'applications ====
+**Exemple 1 :** Calculer la limite de la suite <m>u_n = (n^2 + 1)/(2n^2 - 3)</m>.
-==== Suites définies par récurrence ====
+<m>\lim_{n right infty} (n^2 + 1)/(2n^2 - 3) = \lim_{n right infty} (1 + frac{1)/(n^2)}{2 - (3)/(n^2)} = (1)/(2)</m>.
-L'étude de la limite d'une suite définie par récurrence peut se faire en utilisant les méthodes précédentes, ou en cherchant un point fixe (une valeur *l* telle que l = f(l), où f est la fonction qui définit la récurrence).
+**Exemple 2 :** Étudier la convergence de la suite <m>u_n = sqrt{n+1} - sqrt{n}</m>.
-==== Applications aux problèmes concrets ====
+<m>u_n = sqrt{n+1} - sqrt{n} = ((sqrt{n+1} - sqrt{n})(sqrt{n+1} + sqrt{n}))/(sqrt{n+1) + sqrt{n}} = (1)/(sqrt{n+1) + sqrt{n}}</m>.
-Les suites et les limites peuvent être utilisées pour modéliser et résoudre des problèmes concrets, tels que la croissance d'une population, l'amortissement d'un prêt, ou la convergence d'un algorithme.
+<m>\lim_{n right infty} u_n = 0</m>.
+===== Résumé =====
+  * Une **suite numérique** est une fonction définie sur <m>bbN</m> (ou une partie de <m>bbN</m>).
+  * Une suite **arithmétique** est définie par une raison <m>r</m>: <m>u_{n+1} = u_n + r</m>. Son terme général est <m>u_n = u_0 + nr</m>.
+  * Une suite **géométrique** est définie par une raison <m>q</m>: <m>u_{n+1} = q u_n</m>. Son terme général est <m>u_n = u_0 q^n</m>.
+  * La **limite** d'une suite <m>(u_n)</m> est un nombre <m>l</m> tel que les termes de la suite se rapprochent de <m>l</m> lorsque <m>n</m> tend vers l'infini.
+  * Les **opérations sur les limites** permettent de calculer la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de suites.
+  * Une suite **monotone** est soit croissante, soit décroissante.
+  * Une suite **bornée** est une suite dont les termes sont compris entre deux bornes.
+  * Le **théorème de la convergence monotone** affirme que toute suite monotone et bornée est convergente.
+  * Le **théorème de comparaison** et le **théorème d'encadrement** permettent de déterminer la limite d'une suite en la comparant à d'autres suites.
+  * Les **formes indéterminées** sont des expressions dont la limite ne peut pas être déterminée directement.
+  * Les suites et les limites sont utilisées pour modéliser de nombreux phénomènes dans des domaines variés.