Différences

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--- cours:lycee:generale:terminale_generale:mathematiques:suites_et_limites [2025/07/07 22:06] – Cours généré par l'IA: Suites et limites (lycee, terminale_generale, mathematiques) wikiprof
+++ cours:lycee:generale:terminale_generale:mathematiques:suites_et_limites [2025/07/08 00:05] (Version actuelle) – prof67
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   * **Nombres réels :** Connaissance des propriétés des nombres réels, des opérations de base (addition, soustraction, multiplication, division) et de la représentation des nombres sur une droite numérique.
-  * **Fonctions :** Notions de base sur les fonctions, leur représentation graphique, leur domaine de définition et leur image.
+  * **Fonctions :** Notions de base sur les fonctions, leur représentation graphique et leur vocabulaire (domaine de définition, image, antécédents).
-  * **Algèbre :** Maîtrise des manipulations algébriques de base, notamment le développement, la factorisation et la résolution d'équations du premier et du second degré.
+  * **Algèbre :** Maîtrise des manipulations algébriques de base (développement, factorisation, résolution d'équations et d'inéquations).
-  * **Notion d'indice :** Compréhension de l'utilisation d'indices pour désigner les éléments d'une suite (par exemple, <m>u_n</m> pour le n-ième terme d'une suite).
+  * **Notion d'indice :** Compréhension de l'utilisation des indices pour désigner les éléments d'une suite.
-  * **Ce cours se situe dans la partie "Fonctions" du programme de Terminale Générale, après l'étude des fonctions numériques et avant l'introduction au calcul différentiel.**
+  * **Ce cours se situe dans la partie "Nombre et Calcul" du programme de Terminale Générale, après l'étude des fonctions et avant l'introduction au calcul intégral.**
-===== Chapitre 1 : Définition et types de suites =====
+===== Chapitre 1 : Introduction aux suites numériques =====
-==== 1.1 Définition d'une suite ====
+==== Définition d'une suite ====
-Une **suite** est une fonction dont le domaine de définition est l'ensemble des entiers naturels <m>mathbb{N }</m> (ou une partie de <m>mathbb{N }</m>). On note généralement une suite <m>(u_n)</m> où <m>n</m> est l'indice et <m>u_n</m> est le terme général de la suite. Chaque terme de la suite est associé à un entier naturel <m>n</m>.
+Une **suite numérique** est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels <m>bbN</m> (ou une partie de <m>bbN</m>) et qui associe à chaque entier naturel <m>n</m> un nombre réel <m>u_n</m>. On note généralement une suite <m>(u_n)</m>.
-**Exemple :** La suite <m>(u_n)</m> définie par <m>u_n = 2n + 1</m> pour tout <m>n in mathbb{N }</m> est une suite dont les premiers termes sont : <m>u_0 = 1</m>, <m>u_1 = 3</m>, <m>u_2 = 5</m>, <m>u_3 = 7</m>, etc.
+  * <m>n</m> est appelé l'**indice** de la suite.
+  * <m>u_n</m> est appelé le **terme général** de la suite.
-==== 1.2 Suites arithmétiques ====
+  * **Exemple :** La suite définie par <m>u_n = 2n + 1</m> pour tout <m>n in bbN</m> est une suite arithmétique. Les premiers termes de cette suite sont : <m>u_0 = 1</m>, <m>u_1 = 3</m>, <m>u_2 = 5</m>, <m>u_3 = 7</m>, etc.
-Une **suite arithmétique** est une suite où la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette différence est appelée **raison** de la suite, notée <m>r</m>. On a donc <m>u_{n+1} = u_n + r</m> pour tout <m>n in mathbb{N }</m>.
+==== Manières de définir une suite ====
-*Formule générale :* <m>u_n = u_0 + nr</m>, où <m>u_0</m> est le premier terme de la suite.
+Il existe plusieurs manières de définir une suite :
-**Exemple :** La suite <m>(u_n)</m> définie par <m>u_0 = 2</m> et <m>r = 3</m> est une suite arithmétique dont les premiers termes sont : <m>u_0 = 2</m>, <m>u_1 = 5</m>, <m>u_2 = 8</m>, <m>u_3 = 11</m>, etc.
+  * **Par son terme général :** Comme dans l'exemple précédent, on donne une formule explicite pour calculer <m>u_n</m> en fonction de <m>n</m>.
+  * **Par récurrence :** On donne le premier terme <m>u_0</m> (ou <m>u_1</m>) et une relation de récurrence qui permet de calculer <m>u_{n+1}</m> en fonction de <m>u_n</m>.
-==== 1.3 Suites géométriques ====
+***Exemple :*** La suite de Fibonacci est définie par <m>u_0 = 0</m>, <m>u_1 = 1</m> et <m>u_{n+2} = u_{n+1} + u_n</m> pour tout <m>n in bbN</m>.
-Une **suite géométrique** est une suite où le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Ce rapport est appelé **raison** de la suite, notée <m>q</m>. On a donc <m>u_{n+1} = q u_n</m> pour tout <m>n in mathbb{N }</m>.
+===== Chapitre 2 : Suites arithmétiques et géométriques =====
-*Formule générale :* <m>u_n = u_0 q^n</m>, où <m>u_0</m> est le premier terme de la suite.
+==== Suites arithmétiques ====
-**Exemple :** La suite <m>(u_n)</m> définie par <m>u_0 = 1</m> et <m>q = 2</m> est une suite géométrique dont les premiers termes sont : <m>u_0 = 1</m>, <m>u_1 = 2</m>, <m>u_2 = 4</m>, <m>u_3 = 8</m>, etc.
+Une suite <m>(u_n)</m> est dite **arithmétique** s'il existe un nombre réel <m>r</m> tel que <m>u_{n+1} = u_n + r</m> pour tout <m>n in bbN</m>. Le nombre <m>r</m> est appelé la **raison** de la suite.
-===== Chapitre 2 : Limites d'une suite =====
+  * Le terme général d'une suite arithmétique est donné par : <m>u_n = u_0 + nr</m>.
+  * La somme des <m>n+1</m> premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par : <m>S_n = (n+1)/(2)(u_0 + u_n)</m>.
-==== 2.1 Notion intuitive de limite ====
+==== Suites géométriques ====
-On dit qu'une suite <m>(u_n)</m> converge vers une limite <m>l</m> si, à partir d'un certain rang, les termes de la suite se rapprochent de plus en plus de <m>l</m>. On note alors <m>lim_{n right infty} u_n = l</m>.
+Une suite <m>(u_n)</m> est dite **géométrique** s'il existe un nombre réel <m>q</m> tel que <m>u_{n+1} = q u_n</m> pour tout <m>n in  bbN</m>. Le nombre <m>q</m> est appelé la **raison** de la suite.
-**Exemple :** La suite <m>(u_n)</m> définie par <m>u_n = (1)/(n)</m> converge vers 0, car les termes de la suite deviennent de plus en plus petits lorsque <m>n</m> augmente.
+  * Le terme général d'une suite géométrique est donné par : <m>u_n = u_0 q^n</m>.
+  * La somme des <m>n+1</m> premiers termes d'une suite géométrique est donnée par : <m>S_n = u_0 (1 - q^{n+1})/(1 - q)</m> si <m>q \≠ 1</m>.
-==== 2.2 Définition formelle de la limite ====
+===== Chapitre 3 : Limites d'une suite =====
-Pour définir rigoureement la limite d'une suite, on utilise la définition suivante :
+==== Notion intuitive de limite ====
-Une suite <m>(u_n)</m> converge vers <m>l</m> si et seulement si pour tout <m>epsilon > 0</m>, il existe un entier <m>N </m> tel que pour tout <m>n > N </m>, on ait <m>|u_n - l| < epsilon</m>.
+On dit qu'une suite <m>(u_n)</m> converge vers une limite <m>l</m> si, à partir d'un certain rang, les termes de la suite se rapprochent de plus en plus de <m>l</m>. On note alors <m>\lim_{n right infty} u_n = l</m>.
-==== 2.3 Limites infinies ====
+==== Définition formelle de la limite ====
-Une suite <m>(u_n)</m> diverge vers <m>+infty</m> si, à partir d'un certain rang, les termes de la suite deviennent arbitrairement grands. On note alors <m>lim_{n right infty} u_n = +infty</m>. De même, une suite <m>(u_n)</m> diverge vers <m>-infty</m> si, à partir d'un certain rang, les termes de la suite deviennent arbitrairement petits (négatifs). On note alors <m>lim_{n right infty} u_n = -infty</m>.
+Une suite <m>(u_n)</m> converge vers une limite <m>l</m> si, pour tout nombre réel <m>epsilon > 0</m>, il existe un entier <m>N</m> tel que pour tout <m>n > N</m>, on ait <m>|u_n - l| < epsilon</m>.
-===== Chapitre 3 : Opérations sur les limites =====
+===== Chapitre 4 : Opérations sur les limites =====
-==== 3.1 Limites de sommes et de produits ====
+==== Limites de sommes et de produits ====
-Si <m>(u_n)</m> et <m>(v_n)</m> sont deux suites convergentes, alors :
+Si <m>(u_n)</m> et <m>(v_n)</m> sont deux suites convergentes de limites respectives <m>l</m> et <m>l prime</m>, alors :
-  * <m>lim_{n right infty} (u_n + v_n) = lim_{n right infty} u_n + lim_{n right infty} v_n</m>
+  * <m>\lim_{n right infty} (u_n + v_n) = l + l prime</m>
-  * <m>lim_{n right infty} (u_n . v_n) = lim_{n right infty} u_n . lim_{n right infty} v_n</m>
+  * <m>\lim_{n right infty} (u_n . v_n) = l . l prime</m>
-==== 3.2 Limites de quotients ====
+==== Limites de quotients ====
-Si <m>(u_n)</m> et <m>(v_n)</m> sont deux suites convergentes, avec <m>lim_{n right infty} v_n \≠ 0</m>, alors :
+Si <m>(u_n)</m> et <m>(v_n)</m> sont deux suites convergentes de limites respectives <m>l</m> et <m>l prime</m>, avec <m>l prime ≠ 0</m>, alors :
-<m>lim_{n right infty} (u_n)/(v_n) = (lim_{n right infty} u_n)/(lim_{n right infty) v_n}</m>
+<m>\lim_{n right infty} (u_n)/(v_n) = (l)/(l prime)</m>
-==== 3.3 Formes indéterminées ====
-Certaines opérations sur les limites conduisent à des **formes indéterminées**, c'est-à-dire des expressions dont la limite ne peut pas être déterminée directement. Les formes indéterminées les plus courantes sont : <m>(0)/(0)</m>, <m>(infty)/(infty)</m>, <m>infty - infty</m>, <m>0 . infty</m>. Dans ces cas, il est nécessaire de manipuler l'expression pour lever l'indétermination.
+===== Chapitre 5 : Suites monotones et bornées =====
-===== Chapitre 4 : Suites monotones et bornées =====
+==== Suites monotones ====
-==== 4.1 Suites monotones ====
+Une suite est dite **croissante** si <m>u_{n+1} \>= u_n</m> pour tout <m>n in  bbN</m>. Elle est dite **décroissante** si <m>u_{n+1} \<= u_n</m> pour tout <m>n in  bbN</m>.
-Une suite est dite **croissante** si <m>u_{n+1} \>= u_n</m> pour tout <m>n in mathbb{N }</m>. Elle est dite **décroissante** si <m>u_{n+1} \<= u_n</m> pour tout <m>n in mathbb{N }</m>.
+==== Suites bornées ====
-==== 4.2 Suites bornées ====
+Une suite est dite **bornée** s'il existe un nombre réel <m>M</m> tel que <m>|u_n| \<= M</m> pour tout <m>n in  bbN</m>.
-Une suite est dite **bornée** s'il existe un réel <m>M</m> tel que <m>|u_n| \<= M</m> pour tout <m>n in mathbb{N }</m>.
+==== Théorème de la convergence monotone ====
-==== 4.3 Théorème de la convergence monotone ====
 Toute suite monotone et bornée est convergente.
-===== Chapitre 5 : Applications des suites et limites =====
+===== Chapitre 6 : Limites et comparaison =====
+==== Théorème de comparaison ====
+Si <m>u_n \>= v_n</m> à partir d'un certain rang et si <m>\lim_{n right infty} v_n = l</m>, alors <m>\lim_{n right infty} u_n = l</m>.
+==== Théorème d'encadrement (ou des gendarmes) ====
+Si <m>u_n \<= v_n \<= w_n</m> à partir d'un certain rang et si <m>\lim_{n right infty} u_n = \lim_{n right infty} w_n = l</m>, alors <m>\lim_{n right infty} v_n = l</m>.
+===== Chapitre 7 : Formes indéterminées =====
+==== Les formes indéterminées ====
+Certaines expressions impliquant des limites peuvent donner lieu à des **formes indéterminées**, c'est-à-dire des expressions dont la limite ne peut pas être déterminée directement. Les formes indéterminées les plus courantes sont :
+  * <m>(0)/(0)</m>
+  * <m>(infty)/(infty)</m>
+  * <m>0 . infty</m>
+  * <m>infty - infty</m>
+  * <m>1^{infty}</m>
+  * <m>0^0</m>
+  * <m>infty^0</m>
+==== Méthodes pour lever les formes indéterminées ====
+Pour lever les formes indéterminées, on peut utiliser différentes méthodes, telles que :
-==== 5.1 Étude de fonctions à l'aide des suites ====
+  * La factorisation
+  * La multiplication par un conjugué
+  * Le théorème de comparaison
+  * La règle de l'Hôpital (qui sera étudiée plus tard)
-Les suites peuvent être utilisées pour étudier le comportement de fonctions en certains points. Par exemple, pour déterminer la limite d'une fonction <m>f(x)</m> lorsque <m>x</m> tend vers <m>+infty</m>, on peut étudier la limite de la suite <m>f(n)</m> lorsque <m>n</m> tend vers <m>+infty</m>.
+===== Chapitre 8 : Applications des suites et limites =====
-==== 5.2 Modélisation de phénomènes par des suites ====
+==== Intérêt des suites ====
-De nombreux phénomènes peuvent être modélisés à l'aide de suites. Par exemple, l'évolution d'une population, la croissance d'un capital, ou la diminution d'un médicament dans le sang.
+Les suites sont utilisées pour modéliser de nombreux phénomènes dans des domaines variés tels que :
-===== Chapitre 6 : Suites définies par récurrence =====
+  * La croissance démographique
+  * L'évolution d'un capital investi
+  * La décroissance radioactive
+  * L'approximation de nombres irrationnels
-==== 6.1 Définition d'une suite par récurrence ====
+==== Exemples d'applications ====
-Une suite <m>(u_n)</m> est définie par récurrence si on donne le premier terme <m>u_0</m> et une relation de récurrence qui permet de calculer <m>u_{n+1}</m> en fonction de <m>u_n</m>.
+**Exemple 1 :** Calculer la limite de la suite <m>u_n = (n^2 + 1)/(2n^2 - 3)</m>.
-**Exemple :** La suite de Fibonacci est définie par <m>u_0 = 0</m>, <m>u_1 = 1</m> et <m>u_{n+2} = u_{n+1} + u_n</m> pour tout <m>n in mathbb{N }</m>.
+<m>\lim_{n right infty} (n^2 + 1)/(2n^2 - 3) = \lim_{n right infty} (1 + frac{1)/(n^2)}{2 - (3)/(n^2)} = (1)/(2)</m>.
-==== 6.2 Recherche de la limite d'une suite définie par récurrence ====
+**Exemple 2 :** Étudier la convergence de la suite <m>u_n = sqrt{n+1} - sqrt{n}</m>.
-Pour trouver la limite d'une suite définie par récurrence, on peut souvent utiliser la méthode suivante :
+<m>u_n = sqrt{n+1} - sqrt{n} = ((sqrt{n+1} - sqrt{n})(sqrt{n+1} + sqrt{n}))/(sqrt{n+1) + sqrt{n}} = (1)/(sqrt{n+1) + sqrt{n}}</m>.
-  - Supposer que la suite converge vers une limite <m>l</m>.
+<m>\lim_{n right infty} u_n = 0</m>.
-  - Passer à la limite dans la relation de récurrence.
-  - Résoudre l'équation obtenue pour trouver la valeur de <m>l</m>.
-  - Vérifier que la suite converge bien vers cette limite.
 ===== Résumé =====
-  * Une **suite** est une fonction définie sur <m>mathbb{N }</m>.
+  * Une **suite numérique** est une fonction définie sur <m>bbN</m> (ou une partie de <m>bbN</m>).
-  * Une **suite arithmétique** a une raison constante <m>r</m>: <m>u_n = u_0 + nr</m>.
+  * Une suite **arithmétique** est définie par une raison <m>r</m>: <m>u_{n+1} = u_n + r</m>. Son terme général est <m>u_n = u_0 + nr</m>.
-  * Une **suite géométrique** a une raison constante <m>q</m>: <m>u_n = u_0 q^n</m>.
+  * Une suite **géométrique** est définie par une raison <m>q</m>: <m>u_{n+1} = q u_n</m>. Son terme général est <m>u_n = u_0 q^n</m>.
-  * <m>lim_{n right infty} u_n = l</m> signifie que les termes de la suite se rapprochent de <m>l</m>.
+  * La **limite** d'une suite <m>(u_n)</m> est un nombre <m>l</m> tel que les termes de la suite se rapprochent de <m>l</m> lorsque <m>n</m> tend vers l'infini.
-  * **Opérations sur les limites :** <m>lim (u_n + v_n) = lim u_n + lim v_n</m>, <m>lim (u_n . v_n) = lim u_n . lim v_n</m>, <m>lim (u_n)/(v_n) = (lim u_n)/(lim v_n)</m> (si <m>lim v_n \≠ 0</m>).
+  * Les **opérations sur les limites** permettent de calculer la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de suites.
   * Une suite **monotone** est soit croissante, soit décroissante.
-  * Une suite **bornée** a un majorant et un minorant.
+  * Une suite **bornée** est une suite dont les termes sont compris entre deux bornes.
-  * **Théorème de la convergence monotone :** Toute suite monotone et bornée converge.
+  * Le **théorème de la convergence monotone** affirme que toute suite monotone et bornée est convergente.
-  * Une suite définie par **récurrence** est définie par <m>u_0</m> et <m>u_{n+1} = f(u_n)</m>.
+  * Le **théorème de comparaison** et le **théorème d'encadrement** permettent de déterminer la limite d'une suite en la comparant à d'autres suites.
+  * Les **formes indéterminées** sont des expressions dont la limite ne peut pas être déterminée directement.
+  * Les suites et les limites sont utilisées pour modéliser de nombreux phénomènes dans des domaines variés.