Différences

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--- exercices:lycee:general:terminale_generale:mathematiques:applications_du_logarithme_neperien [2025/07/10 19:37] – Exercice généré par l'IA: exercices:lycee:general:terminale_generale:mathematiques:applications_du_logarithme_neperien wikiprof
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 ===== Applications du Logarithme Népérien =====
-Énoncé : Un échantillon initial de 100g de carbone-14, un isotope radioactif utilisé pour la datation au carbone, est étudié. Le carbone-14 se désintègre selon la loi de décroissance radioactive : <m>N(t) = N_0 e^{-\lambda t}</m>, où <m>N(t)</m> est la quantité de carbone-14 restante après un temps <m>t</m>, <m>N_0</m> est la quantité initiale, et <m>\lambda</m> est la constante de désintégration. On sait que la demi-vie du carbone-14 est de 5730 ans.
+[[cours:lycee:generale:terminale_generale:mathematiques:applications_de_la_fonction_logarithme_neperien|]]
+Exercice : Modélisation de la Décroissance Radioactive
+Un laboratoire étudie la décroissance d'une substance radioactive. Au temps $t=0$, la quantité initiale de la substance est de 100 grammes. On sait que la constante de désintégration de cette substance est de $\lambda = 0.02$ par an.
 ==== Questions ====
-  - Déterminez la valeur de la constante de désintégration <m>\lambda</m> en années<sup>-1</sup>.
+  - Quelle est la formule permettant de calculer la quantité $N(t)$ de la substance radioactive restante après un temps $t$ (en années) ?
-  - Quelle quantité de carbone-14 restera après 1000 ans ?
+  - Quelle est la quantité de substance radioactive restante après 10 ans ? Donnez la réponse arrondie à deux décimales.
-  - Après combien de temps la quantité de carbone-14 sera-t-elle réduite à 25% de sa quantité initiale ?
+  - Calculer le temps de demi-vie de cette substance radioactive. Donner la réponse arrondie à deux décimales.
-  - Exprimez le temps en fonction de la quantité restante <m>N(t)</m> et de la constante de désintégration <m>\lambda</m>.
+  - À partir de quel temps la quantité de substance radioactive restante est-elle inférieure à 20 grammes ? Donner la réponse arrondie à deux décimales.
-  - Si un artefact contient 10g de carbone-14, quel est son âge estimé, en supposant qu'il n'y a pas eu d'apport supplémentaire de carbone-14 depuis sa formation ?
+  - Déterminer le taux de décroissance annuel en pourcentage.
 ==== Corrigé ====
 === Question 1 ===
-La demi-vie <m>t_{1/2}</m> est le temps nécessaire pour que la quantité de substance soit réduite de moitié. Donc, <m>N(t_{1/2}) = {1}/{2}N_0</m>.  On a :
+La formule de la décroissance radioactive est donnée par : <m>N(t) = N_0 e^{-\lambda t}</m>, où <m>N_0</m> est la quantité initiale et <m>\lambda</m> est la constante de désintégration. Dans ce cas, <m>N_0 = 100</m> grammes et <m>\lambda = 0.02</m> par an. Donc, <m>N(t) = 100 e^{-0.02t}</m>.
-<m>{1}/{2}N_0 = N_0 e^{-\lambda t_{1/2}}</m>
-<m>{1}/{2} = e^{-\lambda t_{1/2}}</m>
-En prenant le logarithme népérien des deux côtés :
-<m>\ln\left({1}/{2}\right) = -\lambda t_{1/2}</m>
-<m>\lambda = -{\ln\left(\frac{1}/{2}\right)}{t_{1/2}} = {\ln(2)}/{t_{1/2}}</m>
-Avec <m>t_{1/2} = 5730</m> ans :
-<m>\lambda = {\ln(2)}/{5730} \approx 1.2097 \times 10^{-4} \text{ années}^{-1}</m>
 === Question 2 ===
-On utilise la formule de décroissance radioactive :
+Pour calculer la quantité restante après 10 ans, on substitue <m>t = 10</m> dans la formule : <m>N(10) = 100 e^{-0.02 . 10} = 100 e^{-0.2} \approx 100 . 0.8187 \approx 81.87g</m> .
-<m>N(t) = N_0 e^{-\lambda t}</m>
-Avec <m>N_0 = 100</m>g, <m>t = 1000</m> ans, et <m>\lambda \approx 1.2097 \times 10^{-4}</m> années<sup>-1</sup> :
-<m>N(1000) = 100 e^{-1.2097 \times 10^{-4} \times 1000} \approx 100 e^{-0.12097} \approx 100 \times 0.8869 \approx 88.69 \text{ g}</m>
 === Question 3 ===
-On veut trouver <m>t</m> tel que <m>N(t) = 0.25 N_0 = {1}/{4} N_0</m>.
+Le temps de demi-vie <m>t_{1/2}</m> est donné par la formule : <m>t_{1/2} = {\ln(2)}/{\lambda}</m>. Dans ce cas, <m>t_{1/2} = {\ln(2)}/{0.02} \approx {0.6931}/{0.02} \approx 34.66</m> ans.
-<m>{1}/{4}N_0 = N_0 e^{-\lambda t}</m>
-<m>{1}/{4} = e^{-\lambda t}</m>
-En prenant le logarithme népérien des deux côtés :
-<m>\ln\left({1}/{4}\right) = -\lambda t</m>
-<m>t = -{\ln\left(\frac{1}/{4}\right)}{\lambda} = {\ln(4)}/{\lambda} = {2\ln(2)}/{\lambda}</m>
-Avec <m>\lambda \approx 1.2097 \times 10^{-4}</m> années<sup>-1</sup> :
-<m>t \approx {2\ln(2)}/{1.2097 \times 10^{-4}} \approx {1.3863}/{1.2097 \times 10^{-4}} \approx 11460 \text{ ans}</m>
-Note : <m>t = 2t_{1/2} = 2 \times 5730 = 11460</m> ans.
 === Question 4 ===
-On part de <m>N(t) = N_0 e^{-\lambda t}</m> et on prend le logarithme népérien des deux côtés :
+On cherche le temps <m>t</m> tel que <m>N(t) < 20</m>. Donc, <m>100 e^{-0.02t} < 20</m>. On divise par 100 : <m>e^{-0.02t} < 0.2</m>. On prend le logarithme népérien des deux côtés : <m>-0.02t < \ln(0.2)</m>. On divise par -0.02 (et on inverse le sens de l'inégalité) : <m>t > {\ln(0.2)}/{-0.02} \approx {-1.6094}/{-0.02} \approx 80.47</m> ans.
-<m>\ln(N(t)) = \ln(N_0 e^{-\lambda t}) = \ln(N_0) + \ln(e^{-\lambda t}) = \ln(N_0) - \lambda t</m>
-<m>\lambda t = \ln(N_0) - \ln(N(t)) = \ln\left({N_0}/{N(t)}\right)</m>
-<m>t = {1}/{\lambda} \ln\left({N_0}/{N(t)}\right)</m>
 === Question 5 ===
-On a <m>N(t) = 10</m>g, <m>N_0 = 100</m>g, et <m>\lambda \approx 1.2097 \times 10^{-4}</m> années<sup>-1</sup>.
+Le taux de décroissance annuel en pourcentage est donné par <m>\lambda . 100\%</m>. Dans ce cas, <m>0.02 . 100\% = 2\%</m>.
-<m>t = {1}/{\lambda} \ln\left({N_0}/{N(t)}\right) = {1}/{1.2097 \times 10^{-4}} \ln\left({100}/{10}\right) = {1}/{1.2097 \times 10^{-4}} \ln(10)</m>
-<m>t \approx {2.3026}/{1.2097 \times 10^{-4}} \approx 19036 \text{ ans}</m>