Suites et limites

Prérequis

Pour aborder ce cours sur les suites et les limites, il est essentiel de maîtriser les notions suivantes acquises au cours des classes précédentes :

Nombres réels : Connaissance des propriétés des nombres réels, des opérations de base (addition, soustraction, multiplication, division) et de la représentation des nombres sur une droite numérique.

Fonctions : Notions de base sur les fonctions, leur représentation graphique, leur domaine de définition et leur image.

Algèbre : Maîtrise des manipulations algébriques de base, notamment le développement, la factorisation et la résolution d'équations du premier et du second degré.

Notion de variable : Compréhension du concept de variable et de son utilisation dans les expressions mathématiques.

Ce cours se situe dans la partie “Nombre et Calcul” du programme de Terminale Générale, après l'étude des fonctions et avant l'introduction au calcul intégral.

Chapitre 1 : Introduction aux suites numériques

Définition d'une suite

Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels () ou une partie de celui-ci. On la note généralement où est l'indice et est le terme général de la suite. Chaque terme de la suite est obtenu en appliquant une règle de calcul à l'indice .

Exemple : La suite définie par pour tout est une suite arithmétique dont les premiers termes sont : , , , , etc.

Manière de définir une suite

Il existe plusieurs manières de définir une suite :

Par son terme général : Comme dans l'exemple précédent, on donne une formule explicite pour calculer en fonction de .

Par récurrence : On donne le premier terme (ou ) et une relation de récurrence qui permet de calculer en fonction de .

Exemple : La suite de Fibonacci est définie par , et pour tout .

Suites arithmétiques et géométriques

Deux types de suites sont particulièrement importants :

Suite arithmétique : Une suite est arithmétique s'il existe un nombre réel (appelé raison) tel que pour tout . Le terme général d'une suite arithmétique est donné par .

Suite géométrique : Une suite est géométrique s'il existe un nombre réel (appelé raison) tel que pour tout . Le terme général d'une suite géométrique est donné par .

Chapitre 2 : Limites d'une suite

Notion intuitive de limite

On dit qu'une suite converge vers une limite si, à partir d'un certain rang, les termes de la suite se rapprochent de plus en plus de . On note alors .

Exemple : La suite converge vers 0. En effet, lorsque devient très grand, devient très petit et se rapproche de 0.

Définition formelle de la limite

Pour définir rigoureement la limite d'une suite, on utilise la définition suivante :

Une suite converge vers si et seulement si pour tout , il existe un entier tel que pour tout , on ait .

Cette définition peut sembler abstraite, mais elle permet de donner un sens précis à la notion de convergence.

Limites infinies

Une suite diverge vers si, à partir d'un certain rang, les termes de la suite sont supérieurs à tout nombre réel positif. On note alors . De même, une suite diverge vers si, à partir d'un certain rang, les termes de la suite sont inférieurs à tout nombre réel négatif. On note alors .

Chapitre 3 : Opérations sur les limites

Limites de sommes et de produits

Si et sont deux suites convergentes de limites respectives et , alors :

Limites de quotients

Si et sont deux suites convergentes de limites respectives et , avec , alors :

Formes indéterminées

Certaines opérations sur les limites conduisent à des formes indéterminées, c'est-à-dire des expressions dont la limite ne peut pas être déterminée directement. Les formes indéterminées les plus courantes sont :

Dans ces cas, il est nécessaire de transformer l'expression pour lever l'indétermination.

Chapitre 4 : Théorèmes de comparaison

Théorème de comparaison

Si et sont deux suites telles que à partir d'un certain rang, alors :

Si , alors .

Si , alors .

Théorème des gendarmes

Si , et sont trois suites telles que à partir d'un certain rang et , alors .

Chapitre 5 : Suites monotones et suites bornées

Suites monotones

Une suite est dite croissante si pour tout . Elle est dite décroissante si pour tout .

Suites bornées

Une suite est dite bornée s'il existe un nombre réel tel que pour tout .

Théorème de convergence des suites monotones

Toute suite monotone et bornée est convergente.

Chapitre 6 : Applications et exercices

Exercice 1 : Étude d'une suite arithmétique

Soit la suite définie par et .

Déterminer la nature de la suite .

Exprimer en fonction de .

Déterminer la limite de la suite .

*Corrigé :*

La suite est une suite arithmétique de raison .

.

.

Exercice 2 : Étude d'une suite géométrique

Soit la suite définie par et .

Déterminer la nature de la suite .

Exprimer en fonction de .

Déterminer la limite de la suite .

*Corrigé :*

La suite est une suite géométrique de raison .

.

.

Résumé

Une suite numérique est une fonction définie sur .

Une suite arithmétique a une raison constante : . Son terme général est .

Une suite géométrique a une raison constante : . Son terme général est .

signifie que les termes de la suite se rapprochent de lorsque tend vers l'infini.

ou signifie que la suite diverge vers l'infini.

Opérations sur les limites :

(si le dénominateur est non nul)

Théorème de comparaison : Si , alors .

Théorème des gendarmes : Si et , alors .

Une suite monotone et bornée est convergente.