Suites et limites

Prérequis

Pour aborder ce cours sur les suites et les limites, il est essentiel de maîtriser les notions suivantes acquises au cours des classes précédentes :

Nombres réels : Connaissance des propriétés des nombres réels, des opérations de base (addition, soustraction, multiplication, division) et de la représentation des nombres sur une droite numérique.

Fonctions : Notions de base sur les fonctions, leur représentation graphique, leur domaine de définition et leur image.

Algèbre : Maîtrise des manipulations algébriques de base, notamment le développement, la factorisation et la résolution d'équations du premier et du second degré.

Notion d'indice : Compréhension de l'utilisation d'indices pour désigner les éléments d'une suite (par exemple, pour le n-ième terme d'une suite).

Ce cours se situe dans la partie “Fonctions” du programme de Terminale Générale, après l'étude des fonctions numériques et avant l'introduction au calcul différentiel.

Chapitre 1 : Définition et types de suites

1.1 Définition d'une suite

Une suite est une fonction dont le domaine de définition est l'ensemble des entiers naturels (ou une partie de ). On note généralement une suite où est l'indice et est le terme général de la suite. Chaque terme de la suite est associé à un entier naturel .

Exemple : La suite définie par pour tout est une suite dont les premiers termes sont : , , , , etc.

1.2 Suites arithmétiques

Une suite arithmétique est une suite où la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette différence est appelée raison de la suite, notée . On a donc pour tout .

*Formule générale :* , où est le premier terme de la suite.

Exemple : La suite définie par et est une suite arithmétique dont les premiers termes sont : , , , , etc.

1.3 Suites géométriques

Une suite géométrique est une suite où le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Ce rapport est appelé raison de la suite, notée . On a donc pour tout .

*Formule générale :* , où est le premier terme de la suite.

Exemple : La suite définie par et est une suite géométrique dont les premiers termes sont : , , , , etc.

Chapitre 2 : Limites d'une suite

2.1 Notion intuitive de limite

On dit qu'une suite converge vers une limite si, à partir d'un certain rang, les termes de la suite se rapprochent de plus en plus de . On note alors .

Exemple : La suite définie par converge vers 0, car les termes de la suite deviennent de plus en plus petits lorsque augmente.

2.2 Définition formelle de la limite

Pour définir rigoureement la limite d'une suite, on utilise la définition suivante :

Une suite converge vers si et seulement si pour tout , il existe un entier tel que pour tout , on ait .

2.3 Limites infinies

Une suite diverge vers si, à partir d'un certain rang, les termes de la suite deviennent arbitrairement grands. On note alors . De même, une suite diverge vers si, à partir d'un certain rang, les termes de la suite deviennent arbitrairement petits (négatifs). On note alors .

Chapitre 3 : Opérations sur les limites

3.1 Limites de sommes et de produits

Si et sont deux suites convergentes, alors :

3.2 Limites de quotients

Si et sont deux suites convergentes, avec , alors :

3.3 Formes indéterminées

Certaines opérations sur les limites conduisent à des formes indéterminées, c'est-à-dire des expressions dont la limite ne peut pas être déterminée directement. Les formes indéterminées les plus courantes sont : , , , . Dans ces cas, il est nécessaire de manipuler l'expression pour lever l'indétermination.

Chapitre 4 : Suites monotones et bornées

4.1 Suites monotones

Une suite est dite croissante si pour tout . Elle est dite décroissante si pour tout .

4.2 Suites bornées

Une suite est dite bornée s'il existe un réel tel que pour tout .

4.3 Théorème de la convergence monotone

Toute suite monotone et bornée est convergente.

Chapitre 5 : Applications des suites et limites

5.1 Étude de fonctions à l'aide des suites

Les suites peuvent être utilisées pour étudier le comportement de fonctions en certains points. Par exemple, pour déterminer la limite d'une fonction lorsque tend vers , on peut étudier la limite de la suite lorsque tend vers .

5.2 Modélisation de phénomènes par des suites

De nombreux phénomènes peuvent être modélisés à l'aide de suites. Par exemple, l'évolution d'une population, la croissance d'un capital, ou la diminution d'un médicament dans le sang.

Chapitre 6 : Suites définies par récurrence

6.1 Définition d'une suite par récurrence

Une suite est définie par récurrence si on donne le premier terme et une relation de récurrence qui permet de calculer en fonction de .

Exemple : La suite de Fibonacci est définie par , et pour tout .

6.2 Recherche de la limite d'une suite définie par récurrence

Pour trouver la limite d'une suite définie par récurrence, on peut souvent utiliser la méthode suivante :

Supposer que la suite converge vers une limite .

Passer à la limite dans la relation de récurrence.

Résoudre l'équation obtenue pour trouver la valeur de .

Vérifier que la suite converge bien vers cette limite.

Résumé

Une suite est une fonction définie sur .

Une suite arithmétique a une raison constante : .

Une suite géométrique a une raison constante : .

signifie que les termes de la suite se rapprochent de .

Opérations sur les limites : , , (si ).

Une suite monotone est soit croissante, soit décroissante.

Une suite bornée a un majorant et un minorant.

Théorème de la convergence monotone : Toute suite monotone et bornée converge.

Une suite définie par récurrence est définie par et .