Applications du Logarithme Népérien

Applications de la fonction logarithme népérien

Exercice : Modélisation de la Décroissance Radioactive Un laboratoire étudie la décroissance d'une substance radioactive. Au temps , la quantité initiale de la substance est de 100 grammes. On sait que la constante de désintégration de cette substance est de par an.

Questions

Quelle est la formule permettant de calculer la quantité de la substance radioactive restante après un temps (en années) ?

Quelle est la quantité de substance radioactive restante après 10 ans ? Donnez la réponse arrondie à deux décimales.

Calculer le temps de demi-vie de cette substance radioactive. Donner la réponse arrondie à deux décimales.

À partir de quel temps la quantité de substance radioactive restante est-elle inférieure à 20 grammes ? Donner la réponse arrondie à deux décimales.

Déterminer le taux de décroissance annuel en pourcentage.

Corrigé

Question 1

La formule de la décroissance radioactive est donnée par : , où est la quantité initiale et est la constante de désintégration. Dans ce cas, grammes et par an. Donc, .

Question 2

Pour calculer la quantité restante après 10 ans, on substitue dans la formule : .

Question 3

Le temps de demi-vie est donné par la formule : . Dans ce cas, ans.

Question 4

On cherche le temps tel que . Donc, . On divise par 100 : . On prend le logarithme népérien des deux côtés : . On divise par -0.02 (et on inverse le sens de l'inégalité) : ans.

Question 5

Le taux de décroissance annuel en pourcentage est donné par . Dans ce cas, .