===== Applications du Logarithme Népérien =====
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Exercice : Modélisation de la Décroissance Radioactive
Un laboratoire étudie la décroissance d'une substance radioactive. Au temps $t=0$, la quantité initiale de la substance est de 100 grammes. On sait que la constante de désintégration de cette substance est de $\lambda = 0.02$ par an.

==== Questions ====
  - Quelle est la formule permettant de calculer la quantité $N(t)$ de la substance radioactive restante après un temps $t$ (en années) ?
  - Quelle est la quantité de substance radioactive restante après 10 ans ? Donnez la réponse arrondie à deux décimales.
  - Calculer le temps de demi-vie de cette substance radioactive. Donner la réponse arrondie à deux décimales.
  - À partir de quel temps la quantité de substance radioactive restante est-elle inférieure à 20 grammes ? Donner la réponse arrondie à deux décimales.
  - Déterminer le taux de décroissance annuel en pourcentage.

==== Corrigé ====
=== Question 1 ===
La formule de la décroissance radioactive est donnée par : <m>N(t) = N_0 e^{-\lambda t}</m>, où <m>N_0</m> est la quantité initiale et <m>\lambda</m> est la constante de désintégration. Dans ce cas, <m>N_0 = 100</m> grammes et <m>\lambda = 0.02</m> par an. Donc, <m>N(t) = 100 e^{-0.02t}</m>.

=== Question 2 ===
Pour calculer la quantité restante après 10 ans, on substitue <m>t = 10</m> dans la formule : <m>N(10) = 100 e^{-0.02 . 10} = 100 e^{-0.2} \approx 100 . 0.8187 \approx 81.87g</m> .

=== Question 3 ===
Le temps de demi-vie <m>t_{1/2}</m> est donné par la formule : <m>t_{1/2} = {\ln(2)}/{\lambda}</m>. Dans ce cas, <m>t_{1/2} = {\ln(2)}/{0.02} \approx {0.6931}/{0.02} \approx 34.66</m> ans.

=== Question 4 ===
On cherche le temps <m>t</m> tel que <m>N(t) < 20</m>. Donc, <m>100 e^{-0.02t} < 20</m>. On divise par 100 : <m>e^{-0.02t} < 0.2</m>. On prend le logarithme népérien des deux côtés : <m>-0.02t < \ln(0.2)</m>. On divise par -0.02 (et on inverse le sens de l'inégalité) : <m>t > {\ln(0.2)}/{-0.02} \approx {-1.6094}/{-0.02} \approx 80.47</m> ans.

=== Question 5 ===
Le taux de décroissance annuel en pourcentage est donné par <m>\lambda . 100\%</m>. Dans ce cas, <m>0.02 . 100\% = 2\%</m>.