Table des matières

Applications du Logarithme Népérien

Applications de la fonction logarithme népérien

Exercice : Modélisation de la Décroissance Radioactive Un laboratoire étudie la décroissance d'une substance radioactive. Au temps $t=0$, la quantité initiale de la substance est de 100 grammes. On sait que la constante de désintégration de cette substance est de $\lambda = 0.02$ par an.

Questions

  1. Quelle est la formule permettant de calculer la quantité $N(t)$ de la substance radioactive restante après un temps $t$ (en années) ?
  2. Quelle est la quantité de substance radioactive restante après 10 ans ? Donnez la réponse arrondie à deux décimales.
  3. Calculer le temps de demi-vie de cette substance radioactive. Donner la réponse arrondie à deux décimales.
  4. À partir de quel temps la quantité de substance radioactive restante est-elle inférieure à 20 grammes ? Donner la réponse arrondie à deux décimales.
  5. Déterminer le taux de décroissance annuel en pourcentage.

Corrigé

Question 1

La formule de la décroissance radioactive est donnée par : N(t) = N_0 e^{-\lambda t}, où N_0 est la quantité initiale et \lambda est la constante de désintégration. Dans ce cas, N_0 = 100 grammes et \lambda = 0.02 par an. Donc, N(t) = 100 e^{-0.02t}.

Question 2

Pour calculer la quantité restante après 10 ans, on substitue t = 10 dans la formule : N(10) = 100 e^{-0.02 . 10} = 100 e^{-0.2} \approx 100 . 0.8187 \approx 81.87g .

Question 3

Le temps de demi-vie t_{1/2} est donné par la formule : t_{1/2} = {\ln(2)}/{\lambda}. Dans ce cas, t_{1/2} = {\ln(2)}/{0.02} \approx {0.6931}/{0.02} \approx 34.66 ans.

Question 4

On cherche le temps t tel que N(t) < 20. Donc, 100 e^{-0.02t} < 20. On divise par 100 : e^{-0.02t} < 0.2. On prend le logarithme népérien des deux côtés : -0.02t < \ln(0.2). On divise par -0.02 (et on inverse le sens de l'inégalité) : t > {\ln(0.2)}/{-0.02} \approx {-1.6094}/{-0.02} \approx 80.47 ans.

Question 5

Le taux de décroissance annuel en pourcentage est donné par \lambda . 100\%. Dans ce cas, 0.02 . 100\% = 2\%.