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La Fonction Exponentielle

Énoncé de l'exercice : Cet exercice a pour but de tester votre compréhension des propriétés et des applications de la fonction exponentielle, ainsi que de sa relation avec le logarithme népérien.

Questions

  1. Soit f(x) = 2e^{3x-1}. Déterminez f'(x) et f''(x).
  1. Résolvez l'équation e^{2x+1} = 5. Donnez la solution sous forme exacte.
  1. Simplifiez l'expression e^{x+2} . e^{-x}.
  1. Une population de micro-organismes croît selon la loi N(t) = N_0 e^{kt}, où N_0 est la population initiale, t est le temps en heures et k est une constante positive. Si la population initiale est de 500 et qu'elle atteint 2000 après 3 heures, déterminez la valeur de k.
  1. Déterminez la limite suivante : lim_{x -> -\infty} e^{x^2-x}.

Corrigé

Question 1

Soit f(x) = 2e^{3x-1}. Pour trouver f'(x), on utilise la règle de dérivation de la fonction exponentielle : f'(x) = 2 . 3e^{3x-1} = 6e^{3x-1}. Pour trouver f''(x), on dérive f'(x) : f''(x) = 6 . 3e^{3x-1} = 18e^{3x-1}.

Question 2

Pour résoudre l'équation e^{2x+1} = 5, on applique le logarithme népérien aux deux membres : ln(e^{2x+1}) = ln(5) 2x+1 = ln(5) 2x = ln(5) - 1 x = {ln(5) - 1}/{2}.

Question 3

Pour simplifier l'expression e^{x+2} . e^{-x}, on utilise la propriété e^a . e^b = e^{a+b} : e^{x+2} . e^{-x} = e^{(x+2) + (-x)} = e^{2}.

Question 4

On a N(t) = N_0 e^{kt}. On sait que N_0 = 500 et N(3) = 2000. On peut donc écrire : 2000 = 500 e^{3k} 4 = e^{3k} ln(4) = 3k k = {ln(4)}/{3} = {ln(2^2)}/{3} = {2ln(2)}/{3}.

Question 5

On cherche à déterminer la limite lim_{x -> -\infty} e^{x^2-x}. Lorsque x tend vers -\infty, x^2 tend vers +\infty et -x tend vers +\infty. Par conséquent, x^2 - x tend vers +\infty. Donc, lim_{x -> -\infty} e^{x^2-x} = e^{+\infty} = +\infty.