Table des matières

Suites et limites

Suites et limites

Prérequis

Pour aborder ce cours sur les suites et les limites, il est essentiel de maîtriser les notions suivantes acquises au cours des classes précédentes :

Nombres réels : Connaissance des propriétés des nombres réels, des opérations de base (addition, soustraction, multiplication, division) et de la représentation des nombres sur une droite numérique.
Fonctions : Notions de base sur les fonctions, leur représentation graphique et leur vocabulaire (domaine de définition, image, antécédents).
Algèbre : Maîtrise des manipulations algébriques de base (développement, factorisation, résolution d'équations et d'inéquations).
Notion d'indice : Compréhension de l'utilisation des indices pour désigner les éléments d'une suite.
Ce cours se situe dans la partie “Nombre et Calcul” du programme de Terminale Générale, après l'étude des fonctions et avant l'introduction au calcul intégral.

Chapitre 1 : Introduction aux suites numériques

Définition d'une suite

Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels (ou une partie de ) et qui associe à chaque entier naturel un nombre réel . On note généralement une suite .

est appelé l'indice de la suite.
est appelé le terme général de la suite.

Exemple : La suite définie par pour tout est une suite arithmétique. Les premiers termes de cette suite sont : , , , , etc.

Manières de définir une suite

Il existe plusieurs manières de définir une suite :

Par son terme général : Comme dans l'exemple précédent, on donne une formule explicite pour calculer en fonction de .
Par récurrence : On donne le premier terme (ou ) et une relation de récurrence qui permet de calculer $u_{n+1}$ en fonction de .

*Exemple :* La suite de Fibonacci est définie par , et $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ pour tout .

Chapitre 2 : Suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques

Une suite est dite arithmétique s'il existe un nombre réel tel que $u_{n+1} = u_n + r$ pour tout . Le nombre est appelé la raison de la suite.

Le terme général d'une suite arithmétique est donné par : .
La somme des premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par : .

Suites géométriques

Une suite est dite géométrique s'il existe un nombre réel tel que $u_{n+1} = q u_n$ pour tout . Le nombre est appelé la raison de la suite.

Le terme général d'une suite géométrique est donné par : .
La somme des premiers termes d'une suite géométrique est donnée par : $S_n = u_0 (1 - q^{n+1})/(1 - q)$ si $q \≠ 1$ .

Chapitre 3 : Limites d'une suite

Notion intuitive de limite

On dit qu'une suite converge vers une limite si, à partir d'un certain rang, les termes de la suite se rapprochent de plus en plus de . On note alors $\lim_{n right infty} u_n = l$ .

Définition formelle de la limite

Une suite converge vers une limite si, pour tout nombre réel , il existe un entier tel que pour tout , on ait .

Chapitre 4 : Opérations sur les limites

Limites de sommes et de produits

Si et sont deux suites convergentes de limites respectives et , alors :

$\lim_{n right infty} (u_n + v_n) = l + l prime$
$\lim_{n right infty} (u_n . v_n) = l . l prime$

Limites de quotients

Si et sont deux suites convergentes de limites respectives et , avec , alors :

$\lim_{n right infty} (u_n)/(v_n) = (l)/(l prime)$

Chapitre 5 : Suites monotones et bornées

Suites monotones

Une suite est dite croissante si $u_{n+1} \>= u_n$ pour tout . Elle est dite décroissante si $u_{n+1} \<= u_n$ pour tout .

Suites bornées

Une suite est dite bornée s'il existe un nombre réel tel que $|u_n| \<= M$ pour tout .

Théorème de la convergence monotone

Toute suite monotone et bornée est convergente.

Chapitre 6 : Limites et comparaison

Théorème de comparaison

Si $u_n \>= v_n$ à partir d'un certain rang et si $\lim_{n right infty} v_n = l$ , alors $\lim_{n right infty} u_n = l$ .

Théorème d'encadrement (ou des gendarmes)

Si $u_n \<= v_n \<= w_n$ à partir d'un certain rang et si $\lim_{n right infty} u_n = \lim_{n right infty} w_n = l$ , alors $\lim_{n right infty} v_n = l$ .

Chapitre 7 : Formes indéterminées

Les formes indéterminées

Certaines expressions impliquant des limites peuvent donner lieu à des formes indéterminées, c'est-à-dire des expressions dont la limite ne peut pas être déterminée directement. Les formes indéterminées les plus courantes sont :

$1^{infty}$

Méthodes pour lever les formes indéterminées

Pour lever les formes indéterminées, on peut utiliser différentes méthodes, telles que :

La factorisation
La multiplication par un conjugué
Le théorème de comparaison
La règle de l'Hôpital (qui sera étudiée plus tard)

Chapitre 8 : Applications des suites et limites

Intérêt des suites

Les suites sont utilisées pour modéliser de nombreux phénomènes dans des domaines variés tels que :

La croissance démographique
L'évolution d'un capital investi
La décroissance radioactive
L'approximation de nombres irrationnels

Exemples d'applications

Exemple 1 : Calculer la limite de la suite u_n = (n^2 + 1)/(2n^2 - 3) .

$\lim_{n right infty} (n^2 + 1)/(2n^2 - 3) = \lim_{n right infty} (1 + frac{1)/(n^2)}{2 - (3)/(n^2)} = (1)/(2)$ .

Exemple 2 : Étudier la convergence de la suite $u_n = sqrt{n+1} - sqrt{n}$ .

$u_n = sqrt{n+1} - sqrt{n} = ((sqrt{n+1} - sqrt{n})(sqrt{n+1} + sqrt{n}))/(sqrt{n+1) + sqrt{n}} = (1)/(sqrt{n+1) + sqrt{n}}$ .

$\lim_{n right infty} u_n = 0$ .

Résumé

Une suite numérique est une fonction définie sur (ou une partie de ).
Une suite arithmétique est définie par une raison : $u_{n+1} = u_n + r$ . Son terme général est .
Une suite géométrique est définie par une raison : $u_{n+1} = q u_n$ . Son terme général est .
La limite d'une suite est un nombre tel que les termes de la suite se rapprochent de lorsque tend vers l'infini.
Les opérations sur les limites permettent de calculer la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de suites.
Une suite monotone est soit croissante, soit décroissante.
Une suite bornée est une suite dont les termes sont compris entre deux bornes.
Le théorème de la convergence monotone affirme que toute suite monotone et bornée est convergente.
Le théorème de comparaison et le théorème d'encadrement permettent de déterminer la limite d'une suite en la comparant à d'autres suites.
Les formes indéterminées sont des expressions dont la limite ne peut pas être déterminée directement.
Les suites et les limites sont utilisées pour modéliser de nombreux phénomènes dans des domaines variés.