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Table des matières

Applications du Logarithme Népérien
- Questions
- Corrigé

Applications du Logarithme Népérien

Exercice : Modélisation de la Décroissance Radioactive Un laboratoire étudie la décroissance d'une substance radioactive. Au temps $t=0$, la quantité initiale de la substance est de 100 grammes. On sait que la constante de désintégration de cette substance est de $\lambda = 0.02$ par an.

Questions

Quelle est la formule permettant de calculer la quantité $N(t)$ de la substance radioactive restante après un temps $t$ (en années) ?
Quelle est la quantité de substance radioactive restante après 10 ans ? Donnez la réponse arrondie à deux décimales.
Calculer le temps de demi-vie de cette substance radioactive. Donner la réponse arrondie à deux décimales.
À partir de quel temps la quantité de substance radioactive restante est-elle inférieure à 20 grammes ? Donner la réponse arrondie à deux décimales.
Déterminer le taux de décroissance annuel en pourcentage.

Corrigé

Question 1

La formule de la décroissance radioactive est donnée par : $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ , où est la quantité initiale et $\lambda$ est la constante de désintégration. Dans ce cas, grammes et $\lambda = 0.02$ par an. Donc, $N(t) = 100 e^{-0.02t}$ .

Question 2

Pour calculer la quantité restante après 10 ans, on substitue dans la formule : $N(10) = 100 e^{-0.02 . 10} = 100 e^{-0.2} \approx 100 . 0.8187 \approx 81.87$ grammes.

Question 3

Le temps de demi-vie $t_{1/2}$ est donné par la formule : $t_{1/2} = {\ln(2)}/{\lambda}$ . Dans ce cas, $t_{1/2} = {\ln(2)}/{0.02} \approx {0.6931}/{0.02} \approx 34.66$ ans.

Question 4

On cherche le temps tel que . Donc, $100 e^{-0.02t} < 20$ . On divise par 100 : $e^{-0.02t} < 0.2$ . On prend le logarithme népérien des deux côtés : $-0.02t < \ln(0.2)$ . On divise par -0.02 (et on inverse le sens de l'inégalité) : $t > {\ln(0.2)}/{-0.02} \approx {-1.6094}/{-0.02} \approx 80.47$ ans.

Question 5

Le taux de décroissance annuel en pourcentage est donné par $\lambda . 100\%$ . Dans ce cas, $0.02 . 100\% = 2\%$ .