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La Fonction Exponentielle
- Questions
- Corrigé

La Fonction Exponentielle

Énoncé de l'exercice : Cet exercice a pour but de tester votre compréhension des propriétés et des applications de la fonction exponentielle, ainsi que de sa relation avec le logarithme népérien.

Questions

Soit $f(x) = 2e^{3x-1}$ . Déterminez et .

Résolvez l'équation $e^{2x+1} = 5$ . Donnez la solution sous forme exacte.

Simplifiez l'expression $e^{x+2} . e^{-x}$ .

Une population de micro-organismes croît selon la loi $N(t) = N_0 e^{kt}$ , où est la population initiale, est le temps en heures et est une constante positive. Si la population initiale est de 500 et qu'elle atteint 2000 après 3 heures, déterminez la valeur de .

Déterminez la limite suivante : $lim_{x -> -\infty} e^{x^2-x}$ .

Corrigé

Question 1

Soit $f(x) = 2e^{3x-1}$ . Pour trouver , on utilise la règle de dérivation de la fonction exponentielle : $f'(x) = 2 . 3e^{3x-1} = 6e^{3x-1}$ . Pour trouver , on dérive : $f''(x) = 6 . 3e^{3x-1} = 18e^{3x-1}$ .

Question 2

Pour résoudre l'équation $e^{2x+1} = 5$ , on applique le logarithme népérien aux deux membres : $ln(e^{2x+1}) = ln(5)$ .

Question 3

Pour simplifier l'expression $e^{x+2} . e^{-x}$ , on utilise la propriété $e^a . e^b = e^{a+b}$ : $e^{x+2} . e^{-x} = e^{(x+2) + (-x)} = e^{2}$ .

Question 4

On a $N(t) = N_0 e^{kt}$ . On sait que et . On peut donc écrire : $2000 = 500 e^{3k}$ $4 = e^{3k}$ $k = {ln(4)}/{3} = {ln(2^2)}/{3} = {2ln(2)}/{3}$ .

Question 5

On cherche à déterminer la limite $lim_{x -> -\infty} e^{x^2-x}$ . Lorsque tend vers $-\infty$ , tend vers $+\infty$ et tend vers $+\infty$ . Par conséquent, tend vers $+\infty$ . Donc, $lim_{x -> -\infty} e^{x^2-x} = e^{+\infty} = +\infty$ .